17导数及其应用导数的应用1（函数的单调性、极值、最值）一、具本目标：1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则函数y=f(x)为增函数；如果f'(x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f'(x)＝0，则y=f(x)为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f(x)在区间I上可导，那么是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，但f'(0)=0，这说明f'(x)>0非必要条件．为增函数，一定可以推出，但反之不一定．4.讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定的定义域；（2）求，令，解方程求分界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有h'(x)>0且h(a)≥0，则当x∈(a，b)时h(x)>h(a)=0，从而f(x)>g(x)对所有x∈(a，b)成立．二）函数的极、最值：1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【真题分析】1.【2017·鸡西模拟】函数的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【解析】本题是利用函数的导函数确定函数的单调区间问题.由题意，知.由得.故选D.【答案】D2.【优选题】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【变式】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)【解析】本题考点是利用函数的单调递减性求待定参数问题.由题意可知函数在(1，＋∞)上是减函数，所以有在(1，＋∞)恒成立.也就是在恒成立.在的值域为，所以只要有即可.【答案】C3.【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=()A.-4B.-2C.4D.2【解析】本题考点是函数导数与极值.，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D.【答案】D4.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.1【答案】A5.【优选题】已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A．2B．3C．D．【解析】本题是等比数列的性质与函数的单调性与极值的综合考查.因为数列是等比...
