高考数学二轮复习 第二篇 考点三 立体几何 考查角度2 立体几何中的翻折问题与探索性问题突破训练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

考查角度2立体几何中的翻折问题与探索性问题分类透析一翻折问题例1如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,以EF为折痕将△CEF折起,使点C运动到点P的位置,连接PA,PB,PD,得到如图所示的五棱锥P-ABFED,且PB=❑√10.(1)求证:BD⊥PA.(2)求四棱锥P-BFED的体积.分析(1)抓住EF与BD的平行关系,结合菱形的性质,利用翻折前后的垂直关系可证EF⊥平面PAO,问题得以解决;(2)分别计算PO的长度和四边形BFED的面积,再利用公式计算体积.解析(1) 点E,F分别是边CD,CB的中点,∴BD∥EF. 菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO. AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA,∴BD⊥PA.(2)设AO∩BD=H,连接BO, ∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BD=4,BH=2,HA=2❑√3,HO=PO=❑√3.∴在Rt△BHO中,BO=❑√BH2+HO2=❑√7. 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO.又PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,∴PO⊥平面BFED. 梯形BFED的面积S=12(EF+BD)×HO=3❑√3,∴四棱锥P-BFED的体积V=13S×PO=13×3❑√3×❑√3=3.方法技巧1.画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图;2.分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了改变,哪些没有改变.一般地,在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的,在两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的,分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱.分类透析二空间线面关系的探索性问题例2如图,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,AA1⊥平面ABC,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求证:直线BE∥平面A1FC1.(2)若平面A1FC1与直线AB交于点M,请指出点M的位置,说明理由,并求三棱锥B-EFM的体积.分析(1)取A1C1的中点G,连接EG,FG,利用线线平行得到线面平行;(2)采用分析法进行求解.解析(1)取A1C1的中点G,连接EG,FG,则EG􀱀12B1C1,又BF􀱀12B1C1,所以BF􀱀EG.所以四边形BFGE是平行四边形,所以BE∥FG.而BE⊄平面A1FC1,FG⊂平面A1FC1,所以直线BE∥平面A1FC1.(2)M为棱AB的中点.理由如下:因为AC∥A1C1,AC⊄平面A1FC1,A1C1⊂平面A1FC1,所以直线AC∥平面A1FC1.又平面A1FC1∩平面ABC=FM,所以AC∥FM.又F为棱BC的中点,所以M为棱AB的中点.所以S△BFM=14S△ABC=14×12×2×2×sin60°=❑√34,所以VB-EFM=VE-BFM=13×❑√34×2=❑√36.方法技巧探索性问题的处理思路:先假设存在,再通过推理,进行验证.探索空间中的线面平行与垂直关系,可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探索.分类透析三条件追溯型例3如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等边三角形,且AA1⊥底面ABC,M为AA1的中点,点N在线段AB上,且AN=2NB,点P在线段CC1上.(1)证明:平面BMC1⊥平面BCC1B1.(2)当CPPC1为何值时,PN∥平面BMC1?分析(1)取BC1的中点O,BC的中点Q,连接MO,OQ得MO∥AQ.由AQ⊥平面BCC1B1得MO⊥平面BCC1B1,再利用线面垂直得到面面垂直.(2)采用分析法求解.解析(1)设BC1的中点为O,BC的中点为Q,连接MO,OQ,AQ,则OQ􀱀12CC1􀱀AM,∴四边形AQOM是平行四边形,∴AQ∥MO. AA1∥CC1,AA1⊥平面ABC,∴CC1⊥平面ABC. AQ⊂平面ABC,∴CC1⊥AQ.又 AB=AC,∴AQ⊥BC. CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,∴AQ⊥平面BCC1B1,∴MO⊥平面BCC1B1. MO⊂平面BMC1,∴平面BMC1⊥平面BCC1B1.(2)取AE=2EM,则NE∥BM. NE⊄平面BMC1,BM⊂平面BMC1,∴NE∥平面BMC1.若PN∥平面BMC1,则平面NEP∥平面BMC1. EP⊂平面NEP,∴EP∥平面BMC1. 平面BMC1∩平面AA1C1C=MC1,∴EP∥MC1.又 EM∥PC1,∴四边形EMC1P是平行四边形,∴PC1=EM=13AM=16AA1=16CC1,∴当CPPC1=5时,PN∥平面BMC1.方法技巧以空间几何体为背景的探索存在性问题,涉及的点具有运动性和不确定性,比较简单的探索可以先猜后证,利用传统方法解决.若用向量法处理,可以避免繁杂的画图、推理及验证过程,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在问题”转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解问题”等,问题的解决简单、有效,且解法固定,操作方便.1.(2018年全国Ⅰ卷,文18改编)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,...