高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第2节 导数的应用 第5课时 利用导数研究函数的零点问题课时跟踪检测 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第5课时利用导数研究函数的零点问题1．设函数f(x)＝x3－bx＋c(b，c∈R)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，求b，c的值；(2)若b＝1，c＝，求证：f(x)在区间(1，2)内存在唯一零点．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－b，所以f′(1)＝1－b＝2，解得b＝－1.又因为f(1)＝2＋1＝3，所以－b＋c＝3，解得c＝.故b＝－1，c＝.(2)证明：若b＝1，c＝，则f(x)＝x3－x＋.因为f(1)·f(2)＝－×1＜0，所以f(x)在区间(1，2)内存在零点．又当x∈(1，2)时，f′(x)＝x2－1＞0，所以f(x)在(1，2)上单调递增．所以f(x)在区间(1，2)内存在唯一零点．2．已知函数f(x)＝a＋lnx(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数．解：(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝()′lnx＋·＝，令f′(x)＞0，解得x＞e－2，令f′(x)＜0，解得0＜x＜e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增．(2)由(1)可知，f(x)min＝f(e－2)＝a－.(ⅰ)当a＞时，由f(x)≥f(e－2)＝a－＞0，得函数f(x)的零点个数为0；(ⅱ)当a＝时，因f(x)在(e－2，＋∞)上是单调递增，在(0，e－2)上单调递减，故当x∈(0，e－2)∪(e－2，＋∞)时，f(x)＞f(e－2)＝0.此时，函数f(x)的零点个数为1.(ⅲ)当a＜时，f(x)min＝a－＜0.①a≤0时，因为当x∈(0，e－2]时，f(x)＝a＋lnx＜a≤0，所以，函数f(x)在区间(0，e－2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e－2，＋∞)单调递增，且f(e－2)＝a－＜0，由e－2a∈(e－2，＋∞)，且f(e－2a)＝a(1－2e－a)＞0，此时，函数f(x)在(e－2，＋∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1.②0＜a＜时，因为f(x)在[e－2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝a＞0，f(e－2)＝a－＜0，所以函数f(x)在区间(e－2，＋∞)上有且只有一个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e－2]上是单调递减，又e－∈(0，e－2)，且fe－＝a－＞a－＝0，(当x＞0时，ex＞x2成立)此时，函数f(x)在(0，e－2)上有且只有一个零点．所以，当0＜a＜，函数f(x)的零点个数为2.1综上所述，当a＞时，f(x)的零点个数为0；当a＝时，或a≤0时，f(x)的零点个数为1；当0＜a＜时，f(x)的零点个数为2.3．(2019届贵阳摸底)已知函数f(x)＝kx－lnx(k＞0)．(1)若k＝1，求f(x)的单调区间；(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值．解：(1)若k＝1，则f(x)＝x－lnx，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1－，由f′(x)＞0，得x＞1；由f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)解法一：由题意知，方程kx－lnx＝0仅有一个实根，由kx－lnx＝0，得k＝(x＞0)，令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，则x＝e；当0＜x＜e时，g′(x)＞0；当x＞e时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝.当x→＋∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→－∞.又k＞0，所以要使f(x)仅有一个零点，则k＝.解法二：因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－＝(x＞0，k＞0)．令f′(x)＝0，则x＝；当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞，f′(x)＞0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝1－ln，因为f(x)有且只有一个零点，所以1－ln＝0，即k＝.4．已知函数f(x)＝xlnx－x2－x(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝e处的切线的斜率为－1，求此切线的方程；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，①求a的取值范围；②证明：x1x2＞x1＋x2.解：(1)因为f′(x)＝lnx－ax，所以f′(e)＝1－ae＝－1，解得a＝，则f(x)＝xlnx－－x，所以f(e)＝－e，故切点为(e，－e)，所以曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为x＋y＝0.(2)①f′(x)＝lnx－ax，令f′(x)＝0，得a＝.令g(x)＝，则g′(x)＝，且当0＜x＜1时，g(x)＜0；当x＝1时，g(x)＝0；当x＞1时，g(x)＞0.令g′(x)＝0，得x＝e，且当0＜x＜e时，g′(x)＞0；当x＞e时，g′(x)＜0.故g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝.所以当a≤0时，f(x)有一个极值点；当0＜a＜时，f(x)有两个极值点；当a≥时，f(x)没有极值点．综上，a的取值范围是.②证明：因为x1，x2是f(x)的两个极值点，所以即①2不妨设x1＜x2，则1＜x1...