高中数学三角函数的最值问题专题辅导 VIP免费

高中数学三角函数的最值问题王俊胜求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一。解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。下面谈谈这方面的题型：一、可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型（1）可将函数式化为yAxsin()的形式求解的问题，形如yaxbcxdsinsin或yaxbxxcxsinsincoscos22的函数适用。例1已知函数yxxxxR132122sincoscos，，当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将cos2x降次处理，再应用asinx＋bcosxabx22sin()，其中tanba的知识，转化原函数式。解：yxxx132122sincoscos1342124541226sincossin()xxx当且仅当26226xkkZxkkZ，时，即，时，y取得最大值。故所求的自变量x的集合为{|}xxkkZ6，。解后反思：对形如yaxbxxcxsinsincoscos22的函数最值问题，需先将sinxcosx、cos2x降次，化归为yaxbxcsincos的最值问题求解。例2求函数yxxxR22coscos()的值域。分析：原函数的解析式中只含有cosx的一次式，所以可反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求出y的取值范围。解：由yxxxyy22211coscoscos()得又因|cos|x1所以|()|2111133yyy，解得。解后反思：对本题也可先将函数式变为yxx142123coscos，又，所以知133y。（2）可将函数化为sin()()xfy的形式求解的问题，形如yaxbcxdcossin或者形如yaxbcxdsincos的函数适用。用心爱心专心例3求函数yxx32cossin的值域。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cosx的一次式，而分母是含sinx的一次式，不能直接解出cosx或sinx，通常是化作sin()()xfy求解。解法1：由yxx32cossin得yxxysincos32所以yxy232sin()（为辅助角）所以sin()xyy232因为11sin()x所以12312yy，由此解得11y所以函数的值域为[－1，1]解后反思：对此类问题也可通过几何方法来求解，现介绍如下：解法2：由yxxyxx3232cossincossin，得，设点P（sinx，cosx），Q（－2，0），则y3可看作是单位圆上的动点P与点Q连线的斜率，即33333y。所以11y。所以函数的值域为[－1，1]二、可转化为求二次函数yatbtc2在某一区间上的最值问题，典型的是（1）形如yaxbxcsinsin2的值；例4如果||x4，那么函数fxxx()cossin2的最小值是（）A.212B.212C.1D.212分析：因为cossin221xx所以fxxx()sinsin12，这显然可联系二次函数的知识来源。解：fxxxxx()cossinsinsin221由||sinxx42222，故则当sinx22时，f(x)有最小值fx()min212，故选D。解后反思：对形如yaxbxcsinsin2型的函数最值，可转化为求二次函数yatbtc2在某一区间上的最值问题，但需要注意新元t的取值范围。（2）形如yxxxxsinsincoscos的最值例5求函数yxxxxsinsincoscos的最值。分析：利用(sincos)sincossincossincosxxxxxxxx212沟通与之间的关系，通过换元就可使原函数转化为二次函数。解：设txxxtsincossin()2422，（）用心爱心专心则sincosxxt122于是ytt12122故当t2时，即sin()x41时，ymin122当t=1时，即sin()x422时，ymax1解后反思：函数yxxxxyaxbxxcxsinsincoscossinsincoscos与22的最值问题形同质异，需注意解法的不同。三、转化为可利用均值不等式求解的最值（1）函数yxaxsinsin的最值；例6求函数yxxsinsin2的最值。例7求函数yxxcoscos23的最值。（2）函数yxxsincos2的最值。转化思想：由yxxxxxxx2242422231221223sincos(sincos)(sincoscos)427，从而求出函数的最值。四、利用其它方法求解的最值问题（如单调性...