四川省木里县中学高三数学总复习数列经典例题精析新人教A版类型一：叠加法求数列的通项公式1.求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），；（2），.思路点拨:分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.解析：（1） ，∴数列是等差数列，且首项为，公差为∴.（2） ，当时，，，，将上面个式子相加得到：∴（），当时，符合上式故.1总结升华：1.在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是，可以利用叠加的方法求数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列中，，求通项公式.【答案】当时，，，，将上面个式子相加得到：∴（），当时，符合上式故.【变式2】数列中，，求通项公式.【答案】当时，，2，，将上面个式子相加得到：∴（），当时，符合上式故.类型二：叠乘法求数列的通项公式2.求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），；（2），.思路点拨:分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（叠乘法）求解.解析：（1） ，∴数列是等比数列，且首项为，公比为∴.（2） ，当时，，，，…，3将上面个式子相乘得到：，∴（），当时，符合上式故.举一反三：【变式1】数列中，，求通项公式.【答案】时，，当时，符合上式∴【变式2】已知数列中，，（n∈N+），求通项公式.【答案】由得，∴，∴，∴当时，4当时，符合上式∴类型三：变形为新的等差、等比数列求通项公式3.已知数列中,()，求的通项公式.解析：方法一： ()，∴,∴,令，则，∴是首项为且公比为的等比数列，∴,∴方法二：①②，②-①得:∴成等比数列且公比为，首项，5∴,∴当时.当时，符合上式∴总结升华：第一种解法通过两边同加一个数成为一个新的数列，这个新数列成等比数列.一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项，第二种方法利用了递推关系式的累差法.这两种方法均是常用的方法.举一反三：【变式1】已知数列中，，求【答案】，∴，令，则∴是首项为公比为的等比数列6∴，∴【变式2】已知数列中，，求【答案】令，则，∴，即∴，∴为等比数列，且首项为，公比，∴，故4．数列中，,，求.思路点拨:对两边同除以得即可.解析： ，∴两边同除以得，∴成等差数列，公差为，首项，∴，∴.7总结升华：两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.举一反三：【变式1】数列中，,，求.【答案】 ，∴，∴成等差数列，公差为，首项，∴，∴.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】 ，∴设，则，即，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴，∴.∴。8类型四：与的关系式的综合运用5.数列满足，，（1）用表示；（2）证明：数列是等比数列；（3）求和的表达式.思路点拨:由推出和，要证明是等比数列，只需利用定义证明是常数，这需要探求与的关系，再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.解析：（1） ，∴当时，即当时,，所以.（2）证明： ,∴，显然,（常数），所以数列是等比数列，首项为，公比.（3）由（2）知：是以2为公比的等比数列，首项为，∴，即，∴,方法一：9方法二： 数列的前n项和：，即，∴.方法三： ，∴，∴.总结升华：1.把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项公式求出递推数列的通项公式.2.正确掌握和理解和之间的关系是解这类题目的关键.举一反三：【变式1】已知数列，，（1）设，证明是等比数列并求；（2）设,证明是等差数列并求.（3）求数列的通项公式.【答案】(1) ,当时，，，当时，∴ ，10∴，即(),∴数列是等比数列，首项为,公比为.∴.(2)由(1)知:,∴.∴,即，∴，...
