6.2.1向量基本定理课后篇巩固提升夯实基础1.四边形OABC中,⃗CB=12⃗OA,若⃗OA=a,⃗OC=b,则⃗AB=()A.a-12bB.12a-bC.b+12aD.b-12a答案D解析由⃗CB=⃗OB−⃗OC=12⃗OA,可得⃗OB=⃗OC+12⃗OA=b+12a,所以⃗AB=⃗OB−⃗OA=b+12a-a=b-12a,故选D.2.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为()A.0B.-1C.-2D.-12答案D解析因为向量a与b共线,所以b=ma,且向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2,即2e1-e2=m(e1+λe2),解得λ=-12,故选D.3.设D为△ABC所在平面内一点,⃗AD=-13⃗AB+43⃗AC,若⃗BC=λ⃗DC(λ∈R),则λ=()A.-3B.3C.-2D.2答案A解析若⃗BC=λ⃗DC(λ∈R),∴⃗AC−⃗AB=λ⃗AC-λ⃗AD,化为⃗AD=1λ⃗AB+λ-1λ⃗AC,与⃗AD=-13⃗AB+43⃗AC比较,可得:1λ=-13,λ-1λ=43,解得λ=-3.则λ=-3.故选A.4.对于向量a,b有下列表示:①a=2e,b=-2e;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.其中,向量a,b一定共线的有()A.仅①②③B.仅②③④C.仅①③④D.①②③④答案A解析对于①,a=-b;对于②,a=-12b;对于③,a=4b;对于④,若a=λb(λ≠0),则e1+e2=λ(2e1-2e2),即(1-2λ)e1+(1+2λ)e2=0,所以1-2λ=1+2λ=0,矛盾,故④中a与b不共线.5.已知向量⃗AB=a+3b,⃗BC=5a+3b,⃗CD=-3a+3b,则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案B解析 ⃗BC+⃗CD=2a+6b=2(a+3b)=2⃗AB,即⃗BD=2⃗AB.∴A、B、D三点共线.故选B.6.如图,在△ABC中,设⃗AB=a,⃗AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若⃗AP=ma+nb,则m+n=()A.12B.23C.67D.1答案C解析由题意可得⃗AP=2⃗QP,⃗QB=2⃗QR, ⃗AB=a=⃗AQ+⃗QB=12⃗AP+2⃗QR,①⃗AC=⃗AP+⃗PC=⃗AP+⃗RP=⃗AP+⃗QP−⃗QR=⃗AP+12⃗AP−⃗QR=32⃗AP−⃗QR=b,②由①②解方程求得⃗AP=27a+47b.再由⃗AP=ma+nb可得m=27,n=47,m+n=67.7.如图,在△ABC中,⃗AD=13⃗DC,P是线段BD上一点,若⃗AP=m⃗AB+16⃗AC,则实数m的值为.答案13解析设⃗BP=λ⃗BD,⃗AD=13⃗DC⇒⃗AD=14⃗AC,⃗AP=⃗AB+⃗BP=⃗AB+λ⃗BD=⃗AB+λ(⃗BA+⃗AD)=(1-λ)⃗AB+14λ⃗AC,已知⃗AP=m⃗AB+16⃗AC,所以有{1-λ=m,14λ=16⇒{λ=23,m=13.8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,⃗AB=a,⃗AC=b.(1)用a,b分别表示向量⃗AE,⃗BF;(2)求证:B,E,F三点共线.解(1) ⃗AD=12¿)=12(a+b),∴⃗AE=23⃗AD=13(a+b), ⃗AF=12⃗AC=12b,∴⃗BF=⃗AF−⃗AB=-a+12b.(2)证明:由(1)知⃗BF=-a+12b,⃗BE=-23a+13b=23(-a+12b),∴⃗BE=23⃗BF.∴⃗BE与⃗BF共线.又BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.9.已知△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设⃗OA=a,⃗OB=b.(1)用a,b表示向量⃗OC,⃗DC;(2)若向量⃗OC与⃗OA+k⃗DC共线,求k的值.解(1) A为BC的中点,∴⃗OA=12¿),可得⃗OC=2⃗OA−⃗OB=2a-b,而⃗DC=⃗OC−⃗OD=⃗OC−23⃗OB=2a-53b.(2)由(1)得⃗OA+k⃗DC=(2k+1)a-53kb, ⃗OC与⃗OA+k⃗DC共线,设⃗OC=λ(⃗OA+k⃗DC),即2a-b=λ(2k+1)a+(-53λk)b,根据平面向量基本定理,得{2=λ(2k+1),-1=-53λk,解之得,k=34.能力提升1.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=()A.2❑√2B.-2❑√2C.±2❑√2D.8答案C解析 向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又 a,b为非零不共线向量,∴{8=-kλ,-k=λ,解得:k=±2❑√2,故选C.2.已知正六边形ABCDEF中,G是AF的中点,则⃗CG=()A.58⃗CE+34⃗DAB.23⃗CE+56⃗DAC.34⃗CE+58⃗DAD.56⃗CE+23⃗DA答案C解析作出图形如下图所示,设直线AD,CF相交于点O,则点O为这两条线段的中点,由图形可知,⃗CB=⃗OA=⃗OF+⃗FA=-⃗AB−⃗AF,所以,⃗CG=⃗CB+⃗BA+⃗AG=-⃗AB−⃗AF−⃗AB+12⃗AF=-2⃗AB−12⃗AF,①⃗DA=2⃗CB=-2⃗AB-2⃗AF,②⃗CE=⃗CD+⃗DE=⃗AF−⃗AB,③联立②③,得{⃗DA=-2⃗AB-2⃗AF,⃗CE=-⃗AB+⃗AF,解得{⃗AB=-12⃗CE-14⃗DA,⃗AF=12⃗CE-14⃗DA,代入①,得⃗CG=-2⃗AB−12⃗AF=-2(-12⃗CE-14⃗DA)−12(12⃗CE-14⃗DA)=34⃗CE+58⃗DA,故选C.3.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注...
