6.1.5向量的线性运算[A基础达标]1.等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b解析:选B.原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=-a+2b=2b-a.2.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为()①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.A.①④B.①②C.①③D.③④解析:选B.①正确.②正确.③错误.由ma=mb得m(a-b)=0,当m=0时也成立,推不出a=b.④错误.由ma=na得(m-n)a=0,当a=0时也成立,推不出m=n.3.若5AB+3CD=0,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形解析:选D.由5AB+3CD=0知,AB∥CD且|AB|≠|CD|,故此四边形为梯形,又|AD|=|BC|,所以梯形ABCD为等腰梯形.4.已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是()①2a-3b=4e且a+2b=-2e;②存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0;③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0);④已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b.A.①②B.①③C.②D.③④解析:选A.对于①,可解得a=e,b=-e,故a与b共线;对于②,由于λ≠μ.故λ,μ不全为0,不妨设λ≠0则由λa-μb=0得a=b,故a与b共线;对于③,当x=y=0时,a与b不一定共线;对于④,梯形中没有AB∥CD这个条件,也可能AD∥BC,故a与b不一定共线.5.如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么EF=()A.AB-ADB.AB+ADC.AB+DAD.AB-AD解析:选D.EC=AB,CF=CB=-AD,所以EF=EC+CF=AB-AD.6.已知A,B,C是三个不同的点,OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-5b,则A,B,C三点________.(填写“共线”或“不共线”)答案:共线7.若AP=tAB(t∈R),O为平面上任意一点,则OP=________.(用OA,OB表示)解析:AP=tAB,OP-OA=t(OB-OA),OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.答案:(1-t)OA+tOB8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA-3OB+2OC=0,则=________.解析:因为OA-3OB+2OC=0,所以OB-OA=2(OC-OB),所以AB=2BC,所以=2.答案:29.如图在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使DB=OB,DC与OA的交点为E,设OA=a,OB=b,用a,b表示向量OC,DC.解:因为AC=BA,所以A是BC的中点,所以OA=(OB+OC),所以OC=2OA-OB=2a-b.所以DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.10.设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.问:是否存在实数k,使得A,B,D三点共线,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.解:设存在k∈R,使得A,B,D三点共线.因为DB=CB-CD=(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2,AB=2e1+ke2.又因为A,B,D三点共线,所以AB=λDB,所以2e1+ke2=λ(-e1+4e2),所以所以k=-8,所以存在k=-8,使得A,B,D三点共线.[B能力提升]11.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB,则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上解析:选D.因为PA+PB+PC=AB,所以PA+PC=AB+BP=AP,所以2AP+PA+PC=3AP,所以(AP+PA)+(AP+PC)=3AP,即AC=3AP,所以点P在AC边上,且为AC的三等分点.12.如图,已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=f,试用a,b,c,d,e,f表示以下向量:(1)AC;(2)AD;(3)DF+FE+ED.解:(1)AC=OC-OA=c-a.(2)AD=AO+OD=-OA+OD=-a+d.(3)DF+FE+ED=DO+OF+FO+OE+EO+OD=0.13.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b分别表示向量AE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.解:(1)因为AD=(AB+AC)=(a+b),所以AE=AD=(a+b),因为AF=AC=b,所以BF=AF-AB=-a+b.(2)证明:由(1)知BF=-a+b,BE=-a+b=,所以BE=BF.所以BE与BF共线.又BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.[C拓展探究]14.如图,在△AOB中,C是AB边上的一点,且=λ(λ>0),若OA=a,OB=b,用a,b表示OC.解:由题意得,OC=OB+BC,BA=OA-OB=a-b,由=λ(λ>0),所以=,所以BC=BA,即OC=OB+BA=b+(a-b)=.