高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算应用案巩固提升 新人教B版必修第二册-新人教B版高一第二册数学试题VIP免费

6.1.5向量的线性运算[A基础达标]1.等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B.原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B.①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.3．若5AB＋3CD＝0，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．等腰梯形解析：选D.由5AB＋3CD＝0知，AB∥CD且|AB|≠|CD|，故此四边形为梯形，又|AD|＝|BC|，所以梯形ABCD为等腰梯形．4．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.A．①②B．①③C．②D．③④解析：选A.对于①，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有AB∥CD这个条件，也可能AD∥BC，故a与b不一定共线．5．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝()A.AB－ADB.AB＋ADC.AB＋DAD.AB－AD解析：选D.EC＝AB，CF＝CB＝－AD，所以EF＝EC＋CF＝AB－AD.6．已知A，B，C是三个不同的点，OA＝a－b，OB＝2a－3b，OC＝3a－5b，则A，B，C三点________．(填写“共线”或“不共线”)答案：共线7．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________．(用OA，OB表示)解析：AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.答案：(1－t)OA＋tOB8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝________．解析：因为OA－3OB＋2OC＝0，所以OB－OA＝2(OC－OB)，所以AB＝2BC，所以＝2.答案：29.如图在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA的交点为E，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.解：因为AC＝BA，所以A是BC的中点，所以OA＝(OB＋OC)，所以OC＝2OA－OB＝2a－b.所以DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b.10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：设存在k∈R，使得A，B，D三点共线．因为DB＝CB－CD＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB＝2e1＋ke2.又因为A，B，D三点共线，所以AB＝λDB，所以2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，所以所以k＝－8，所以存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．[B能力提升]11．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上解析：选D.因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PC＝AB＋BP＝AP，所以2AP＋PA＋PC＝3AP，所以(AP＋PA)＋(AP＋PC)＝3AP，即AC＝3AP，所以点P在AC边上，且为AC的三等分点．12.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋ED.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3)DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.13．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b分别表示向量AE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)因为AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，所以AE＝AD＝(a＋b)，因为AF＝AC＝b，所以BF＝AF－AB＝－a＋b.(2)证明：由(1)知BF＝－a＋b，BE＝－a＋b＝，所以BE＝BF.所以BE与BF共线．又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．[C拓展探究]14.如图，在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，用a，b表示OC.解：由题意得，OC＝OB＋BC，BA＝OA－OB＝a－b，由＝λ(λ>0)，所以＝，所以BC＝BA，即OC＝OB＋BA＝b＋(a－b)＝.