第二课时导数与函数的极值、最值时间:45分钟分值:100分一、选择题1.y=x·2x取极小值时,x=()A.B.-C.-ln2D.ln2解析y′=2x+x·2xln2=0,∴x=-.答案B2.函数f(x)=+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是()A.-B.-C.-4D.-解析f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-.答案A3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或18解析 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,∴f(1)=10,且f′(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16.∴f(2)=18.故选C.答案C4.设函数f(x)在R上可导,其导函数是f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是()解析f(x)在x=-2处取得极小值,即x<-2,f′(x)<0;x>-2,f′(x)>0,那么y=xf′(x)过点(0,0)及(-2,0).当x<-2时,x<0,f′(x)<0,则y>0;当-2
0,y<0;当x>0时,f′(x)>0,y>0,故C正确.答案C5.已知f(x)=x2-cosx,x∈[-1,1],则导函数f′(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值,又有最小值的奇函数解析f′(x)=x+sinx,显然f′(x)是奇函数,令h(x)=f′(x),则h(x)=x+sinx,求导得h′(x)=1+cosx.当x∈[-1,1]时,h′(x)>0,所以h(x)在[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值,所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.答案D6.(2015·山东德州期末)设函数y=f(x)在(0,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=取函数f(x)=,恒有fK(x)=f(x),则()A.K的最大值为B.K的最小值为C.K的最大值为2D.K的最小值为2解析由f(x)=,令f′(x)===0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,即f(x)=在x=1时取得最大值,而f(x)≤K恒成立,所以≤K,故K的最小值为,选B.答案B二、填空题7.函数f(x)=x2-lnx的最小值为________.解析由得x>1.得00.所以m>6或m<-3.答案(-∞,-3)∪(6,+∞)9.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________.解析 f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由f′(x)<0,得10,得x<1或x>3.∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1)(3,+∞)上是增函数.又a0,y极小值=f(3)=-abc<0.∴00.又x=1,x=3为函数f(x)的极值点,后一种情况不可能成立,如图.∴f(0)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.答案②③三、解答题10.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(a、b为常数),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值.解(1)由已知,f′(x)=3ax2+2x+b,因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. g(x)为奇函数.∴g(-x)=-g(x).∴解得∴f(x)=-x3+x2.(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,∴g′(x)=-x2+2.令g′(x)=0,解得x1=-,x2=,∴当x∈(-∞,-),(,+∞)时,g(x)单调递减,当x∈(-,)时,g(x)单调递增.又g(1)=,g()=,g(2)=,∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,最小值为g(2)=.11.已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0).(1)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;(2)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值.解(1)因为f(1)=0,g(1)=0.所以点(1,0)同时在函数f(x),g(x)的图象上,因为f(x)=x2-1,g(x)=alnx,所以f′(x)=2x,g′(x)=.由已知,得f′(1)=g′...