高考数学一轮总复习 2.12.2导数与函数的极值、最值练习-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第二课时导数与函数的极值、最值时间：45分钟分值：100分一、选择题1．y＝x·2x取极小值时，x＝()A.B．－C．－ln2D．ln2解析y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.答案B2．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．－B．－C．－4D．－解析f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.答案A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或18解析 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即解得或而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.∴f(2)＝18.故选C.答案C4．设函数f(x)在R上可导，其导函数是f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()解析f(x)在x＝－2处取得极小值，即x<－2，f′(x)<0；x>－2，f′(x)>0，那么y＝xf′(x)过点(0,0)及(－2,0)．当x<－2时，x<0，f′(x)<0，则y>0；当－20，y<0；当x>0时，f′(x)>0，y>0，故C正确．答案C5．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数解析f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx.当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值，所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．答案D6．(2015·山东德州期末)设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为2D．K的最小值为2解析由f(x)＝，令f′(x)＝＝＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，即f(x)＝在x＝1时取得最大值，而f(x)≤K恒成立，所以≤K，故K的最小值为，选B.答案B二、填空题7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．解析由得x>1.得00.所以m>6或m<－3.答案(－∞，－3)∪(6，＋∞)9．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．解析 f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3.∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)(3，＋∞)上是增函数．又a0，y极小值＝f(3)＝－abc<0.∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.答案②③三、解答题10．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b为常数)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值．解(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b. g(x)为奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．∴解得∴f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2.令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，∴当x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，g(x)单调递减，当x∈(－，)时，g(x)单调递增．又g(1)＝，g()＝，g(2)＝，∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.11．已知函数f(x)＝x2－1与函数g(x)＝alnx(a≠0)．(1)若f(x)，g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；(2)设F(x)＝f(x)－2g(x)，求函数F(x)的极值．解(1)因为f(1)＝0，g(1)＝0.所以点(1,0)同时在函数f(x)，g(x)的图象上，因为f(x)＝x2－1，g(x)＝alnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝.由已知，得f′(1)＝g′...