山西省朔州市平鲁区李林中学高三数学第一轮复习函数应用理题型一一次函数、二次函数模型例1某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？探究提高(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解．(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解决．(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．变式训练1用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高与宽应各为多少？题型二分段函数模型例2为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？探究提高本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．变式训练2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．题型三指数函数、幂函数模型例3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；1(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)探究提高此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．变式训练3已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．函数建模及函数应用问题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．方法与技巧解答数学应用题关键有两点：一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题；二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案．2
