第一讲三角函数的图象与性质(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在平面直角坐标系中,角α的始边为x轴的正半轴,终边经过点P(1,-2),则20cosα+19sinα的值是()A.-B.C.D.-18【解析】选A.由题意,cosα=,sinα=-,所以20cosα+19sinα=20×-19×=-=-.2.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2]【解析】选A.当ω=2时,∈,不合题意,排除D.当ω=1时,∈,合题意,排除B,C.3.若将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是()A.B.C.D.-【解析】选A.把该函数的图象向右平移φ个单位,所得图象对应的函数解析式为:y=2sin,又所得图象关于y轴对称,则-2φ=kπ+,k∈Z,所以当k=-1时,φ有最小正值是.4.设函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且对于任意的实数x都有f(x)≤f,则下列说法不正确的是()A.f(x)的一个零点为-B.f(x)的一条对称轴为x=C.f(x)在区间上单调递增D.f是偶函数【解析】选C.因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的最小正周期为π,所以ω=2,又因为对于任意的实数x都有f(x)≤f,所以2×+φ=+2kπ(k∈Z),因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin,由2x+=kπ(k∈Z),得x=π-(k∈Z),所以f(x)的一个零点是-,由2x+=kπ+(k∈Z),得x=π+(k∈Z),所以f(x)的一条对称轴是x=,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的增区间是,k∈Z,因为f=sin=cos2x是偶函数,所以A,B,D都是正确的,C是错误的.5.设偶函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示,△KMN为等腰直角三角形,∠KMN=90°,则f的值为()A.-B.C.-D.【解析】选B.由题图知函数的周期T=2=2,由=2,得ω=π.因为△KMN为等腰直角三角形,∠KMN=90°,知点M到x轴的距离是,则f(x)=cos(πx+φ),因为f(x)是偶函数,0≤φ<π,所以π×0+φ=0,所以φ=0,f(x)=cosπx,故f=cos=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=sin2x+2cos2x-,函数g(x)=mcos-2m+3(m>0),若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围是_________.【解析】函数f(x)=sin2x+2cos2x-=sin2x+cos2x=2sin.因为x1∈,所以≤2x1+≤,所以sin∈,故得函数f(x1)的值域为[1,2].函数g(x)=mcos-2m+3(m>0),因为x2∈,所以-≤2x2-≤,所以cos∈,故得函数g(x2)的值域为.由题意存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2)成立,则需满足:3-m≥1且3-m≤2,解得实数m的取值范围是.答案:7.已知a=(cosx,2sinx),b=(2cosx,-cosx),函数f(x)=a·b-,下面四个结论中正确的是____________.(把所有正确命题的序号填写在横线上)①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象关于直线x=对称;③函数f(x)的图象是由的y=2cos2x图象向左平移个单位得到的;④函数f是奇函数.【解析】f(x)=a·b-=2cos2x-2sinx·cosx-=cos2x-sin2x=2cos.①因为最小正周期为T==π,所以①正确;②因为当x=时,2x+=,所以f=0,所以②错误;③由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到函数y=2cos2=2cos,所以③错误;④因为f=2cos=2cos=-2sin2x是奇函数,所以④正确.答案:①④8.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=_____.【解析】由图象可得最小正周期为,于是f(0)=f,注意到与关于对称,所以f=-f=,故f(0)=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)的对称轴的方程.(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sinxcosx-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin,对称轴的方程为2x-=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z.(2)因为x∈,则2x-∈,所以sin∈,所以f(x)max=1,f(x)min=-.10.已知向量a=(x+3,x),b=(-sin2θ,-csinθ-ccosθ).(1)当x=-1,θ=π时,有|a-b|=2,求实数c的值.(2)对于任意的实数x和任意的θ∈,均有|a-b|≥,求实数c的取值范围.【解析】(1)当x=-1,θ=π时,a=(2,-1),b=(0,c),因为|a-b|=2,所以=2,所以c=-1.(2)对任意的x∈R与θ∈,有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+csinθ+ccosθ)2≥恒成立令m=3+2sinθcosθ,n=csinθ+ccosθ,则(x+m)2+(x+n)2≥⇒2x2+2(m+n)x+m2+n2-≥0⇒Δ=4(m+n)2-8≤0⇒(m-n)2≥⇒m-n≤-或m-n≥.令t=sinθ+cosθ⇒2sinθcosθ=t2-1,t=sinθ+cosθ=sin∈[-,-1],即m=t2+2,n=ct,m-n=t2-ct+2,则t2-ct+2≤-...
