专题2.1导数起源于切线曲切联系需熟练【题型综述】导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f′(x0)(x−x0)；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y−f(x1)=f′(x1)(x−x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y−f(x1)=f′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0,y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′(x0)求出切点坐标(x0,y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．【典例指引】例1．（2013全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值．简析：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；例2．设函数．（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点，求证：．例3．已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．则=，即．因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．所以函数有三个不同的零点．则．令，则或．02++增极大值减极小值增则，即，解得．【同步训练】1．设函数，若函数在处的切线方程为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．【思路引导】（Ⅰ）根据导数的几何意义，可知函数在处的导数即为切线的斜率，又点(1，)为切点，列出方程解出a，b的值；（Ⅱ）把a，b的值代入解析式，对函数求导判断单调性，根据单调区间写出函数的最值．∴在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，在处取得极大值这个极大值也是的最大值．又，所以函数在上的最大值为．2．已知函数，其导函数的两个零点为-3和0．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最值．【思路引导】对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m，n；利用导数的几何意义求切线方程，先求f(1)，求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值．所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1．3．设函数的定义域为，若对任意，，都有，则称函数为“”函数．已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于．（1）求的解析式，并求的减区间；（2）设，若对任意，函数为“”函数，求实数的最小值．【思路引导】根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出，得出函数的解析式，利用导数解求出函数的单调减区间；对任意，函数为“”函数，等价于在上，，根据函数的在上的单调性，求出的最值，根据条件求出的范围，得出结论． 在上为减函数，且，∴，∴在上为减函数，∴，，∴，得，又，∴．4．已知函数．（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，...
