课时分层作业(五)同角三角函数的基本关系式(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.若sinα+sin2α=1,那么cos2α+cos4α的值等于()A.0B.1C.2D.3B[由sinα+sin2α=1,得sinα=cos2α,所以cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1.]2.已知α是第三象限的角,cosα=-,则sinα=()A.B.-C.D.-B[∵α是第三象限的角,∴sinα=-=-=-.]3.若α∈[0,2π),且有+=sinα-cosα,则角α的取值范围为()A.B.C.D.B[因为+=sinα-cosα,所以又α∈[0,2π),所以α∈,故选B.]4.若sinθ·cosθ=,则tanθ+的值是()A.-2B.2C.±2D.B[tanθ+=+====2,选B.]5.若tanα=3,则2sinαcosα=()A.±B.-C.D.C[2sinαcosα====.]二、填空题6.已知sinαcosα=,则sinα-cosα=________.±[(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-2sinαcosα=,则sinα-cosα=±.]7.若tanα+=3,则sinαcosα=________,tan2α+=________.7[∵tanα+==3,∴sinαcosα=.又tan2α+=2-2=9-2=7,∴tan2α+=7.]8.已知α∈,tanα=2,则cosα=________.-[由α∈及tanα=2,得sinα=2cosα<0,又sin2α+cos2α=1,∴cosα=-.]三、解答题9.已知tanα=,求下列各式的值:(1)+;(2);(3)sin2α-2sinαcosα+4cos2α.[解]+=+=+=.(2)===.(3)sin2α-2sinαcosα+4cos2α====.10.求证:2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.[证明]右边=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα=2(1-sinα+cosα-sinαcosα)=2(1-sinα)(1+cosα)=左边,∴2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.[等级过关练]1.已知△ABC中,tanA=-,则cosA=()A.B.C.-D.-D[∵tanA=-,又A是三角形的内角,∴A是钝角.∵=-,∴-5cosA=12sinA.又sin2A+cos2A=1,∴cosA=-.]2.已知sinθ=,cosθ=,则tanθ=()A.B.±C.-D.-或-C[由sin2θ+cos2θ=1,有+=1,化简得m2-8m=0,解得m=0或m=8,由于θ在第二象限,所以sinθ>0,m=0舍去,故m=8,sinθ=,cosθ=-,得tanθ=-.]3.已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ=________.[由已知得,1-2sinθcosθ=,∴sinθcosθ=.∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)=×=.]4.若f(sinα)=cos2α,则f=________.[∵f(sinα)=cos2α=1-sin2α,∴f(t)=1-t2,-1≤t≤1,∴f=1-=.]5.求证:=.[证明]法一:右边======左边,∴等式成立.法二:左边==,右边=====,∴左边=右边,等式成立.