第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式[基础题组练]1．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sin＝，且α是第三象限角，则cos＝()A.B．－C.D．－解析：选D.sin＝－cosα＝，所以cosα＝－，因为α是第三象限角，所以sinα＝－，所以cos＝cos＝sinα＝－.2．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为()A．3B．－3C．1D．－1解析：选B.因为α是第三象限角，故sinα<0，cosα<0，所以原式＝＋＝－1－2＝－3.3．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝()A．－B．－C.D．解析：选A.由tan(π－α)＝－，得tanα＝.＝＝＝＝－.故选A.4．(2019·东北三省三校模拟)已知sin＝，则cos＝()A.B．－C.D．－解析：选B.由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.故选B.5．已知α∈[0，2π)，cosα＋3sinα＝，则tanα＝()A．－3B．3或C．3D．解析：选C.因为(cosα＋3sinα)2＝10，所以cos2α＋6sinαcosα＋9sin2α＝10，所以＝10，所以＝10，所以tanα＝3，故选C.6．(2020·惠州模拟)已知tanα＝，且α∈(π，)，则cos(α－)＝________．解析：由α∈(π，)知α为第三象限角，联立得得5sin2α＝1，故sinα＝－.答案：－7．若|sinθ|＋|cosθ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．解析：|sinθ|＋|cosθ|＝，两边平方得，1＋|sin2θ|＝，所以|sin2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.答案：8．若＝3，则cosα－2sinα＝________．解析：由已知得sinα≠0，且3sinα＝1＋cosα>0，即cosα＝3sinα－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sinα－1)2，解得sinα＝，所以cosα－2sinα＝3sinα－1－2sinα＝sinα－1＝－.答案：－9．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)因为cos(α－)＝，所以－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，所以cosα＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.10．是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.所以sin2α＝，所以sinα＝±.因为α∈，所以α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝，β＝满足条件．[综合题组练]1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cosθ，sinθ)，B(2cosθ＋sinθ，5cosθ－sinθ)，则直线AB的斜率为()A．3B．－4C.D．－解析：选D.由题意知tanθ＝3，kAB＝＝＝－.故选D.2．A＝{sinα，cosα，1}，B＝{sin2α，sinα＋cosα，0}，且A＝B，则sin2019α＋cos2018α＝()A．0B．1C．－1D．±1解析：选C.当sinα＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cosα＝0时，A＝{sinα，0，1}，B＝{sin2α，sinα，0}，此时sin2α＝1，得sinα＝－1，所以sin2019α＋cos2018α＝－1.3．已知θ∈，且＋＝35，则tanθ＝________．解析：依题意得12(sinθ＋cosθ)＝35sinθcosθ，令sinθ＋cosθ＝t，因为θ∈，所以t>0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sinθ＋cosθ＝，则sinθcosθ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tanθ＋12＝0，解得tanθ＝或.答案：或4．(2020·襄阳模拟)已知tan＝2，则＝________．解析：＝＝－，把tan(α＋)＝2代入得，原式＝－＝－3.答案：－35．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝，又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，可得m＝.(3)由得或又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.6．在△ABC中，(1)求证：cos2＋cos2＝1；(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，所以cos＝cos＝sin，所以cos2＋cos2＝1.(2)若cossintan(C－π)＜0，所以(－sinA)(－cosB)tanC＜0，即sinAcosBtanC＜0.因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sinA＞0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
