考点测试31数列求和高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值5分、12分，中等难度考纲研读1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题一、基础小题1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有()A.(87－8)人B．(89－8)人C．8＋(87－8)人D．8＋(89－84)人答案D解析由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)，故选D.2．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为()A．250B．200C．150D．100答案D解析当n为奇数时得an＋an＋1＝2，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝2×50＝100.故选D.3．数列的前2020项的和为()A.＋1B．－1C.＋1D．－1答案B解析＝＝－，数列的前2020项的和为－1＋－＋－＋…＋－＋－＝－1.故选B.4．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝()A.B．C．D．答案B解析因为2a1＋22a2＋…＋2nan＝n，所以2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，两式作差，可得2nan＝1，即an＝(n≥2)，又当n＝1时，2a1＝1，即a1＝，满足an＝，因此an＝＝2－n(n∈N*)；所以＝＝＝－；因为数列的前n项和为Sn，所以Sn＝＋＋…＋＝1－＝，因此S1·S2·S3·…·S10＝···…·＝.故选B.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，直线y＝x－2与圆x2＋y2＝2an＋2交于An，Bn(n∈N*)两1点，且Sn＝|AnBn|2.若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是()A．(0，＋∞)B．C．[0，＋∞)D．答案B解析圆心O(0,0)到直线y＝x－2，即x－y－2＝0的距离d＝＝2，由d2＋2＝r2，且Sn＝|AnBn|2，得22＋Sn＝2an＋2，∴4＋Sn＝2(Sn－Sn－1)＋2，即Sn＋2＝2(Sn－1＋2)且n≥2；∴{Sn＋2}是以a1＋2为首项，2为公比的等比数列．由22＋Sn＝2an＋2，取n＝1，解得a1＝2，∴Sn＋2＝(a1＋2)·2n－1＝2n＋1，则Sn＝2n＋1－2；∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n(n≥2)， a1＝2适合上式，∴an＝2n.设Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，∴－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2；∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，若a1＋2a2＋3a3＋…＋nan<λa＋2对任意n∈N*恒成立，即(n－1)·2n＋1＋2<λ(2n)2＋2对任意n∈N*恒成立，即λ>对任意n∈N*恒成立．设bn＝， bn＋1－bn＝－＝，∴b1b4>…>bn>bn＋1>…，故bn的最大值为b2＝b3， b2＝b3＝，∴λ>.故选B.6．已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4，则a＋a＋a＋…＋a＝________.答案1020解析 数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4，∴q2＝＝2，∴a＝(a1qn－1)2＝4×(q2)n－1＝4×2n－1＝2n＋1，∴a＋a＋a＋…＋a＝＝1020.7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1，bn＝log2(a·2an)，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>1024的最小n的值为________．答案9解析当n＝1时，a1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝所以bn＝所以Tn＝当n＝9时，T9＝210＋9×10＋2＝1116>1024；当n＝8时，T8＝29＋8×9＋2＝586<1024，所以满足Tn>1024的最小n的值为9.8．已知在数列{an}中，a1＝2,2n(an＋an＋1)＝1，设Tn＝a1＋2a2＋…＋2n－1an，bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________.答案2n＋1－2解析由题意可知，因为Tn＝a1＋2a2＋…＋2n－1an，所以2Tn＝2a1＋22a2＋…＋2nan，两式相加3Tn＝a1＋2(a1＋a2)＋22(a2＋a3)＋…＋2n－1(an－1＋an)＋2nan＝2＋2×＋22×＋…＋2n－1×＋2nan＝2＋(n－1)×1＋2nan＝n＋1＋2nan，2所以bn＝2n，从而Sn＝＝2n...
