考点47几何证明选讲选择题1.(2015·天津高考理科·T5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.B.3C.D.【解析】选A.根据相交弦定理可知,CM·MD=AM·MB,又因为M,N为弦AB的三等分点,所以,AM·MB=AN·NB.因为CM=2,MD=4,即CN·NE=AN·NB=CM·MD=8,由CN=3,得NE=.2.(2015·天津高考文科·T6)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.B.3C.D.【解析】选A.根据相交弦定理可知,CM·MD=AM·MB,又因为M,N为弦AB的三等分点,所以,AM·MB=AN·NB.因为CM=2,MD=4,即CN·NE=AN·NB=CM·MD=8,由CN=3,得NE=.二、填空题3.(2015·湖北高考理科·T15)(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则.【解题指南】利用圆的切割线定理和三角形相似求解.【解析】设PB=1,因为BC=3PB,所以PC=4,又因为PA是圆的切线,所以∠PAB=∠BCA,∠P=∠P,所以△PBA∽△PAC,所以PA2=PB·PC=4,PA=2,答案:6.（2015·重庆高考理科·Ｔ14）如题（14）图，圆O的弦AB，CD相较于点E，过点A作圆O的切线与DC4。的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2:1，则BE=_________.【解题指南】首先根据切割线定理可求出的长，然后利用相交弦定理结合线段的比例可求出BE的长.【解析】由切割线定理可知，，所以，，因为CE：ED=2:1，所以CE=6，ED=3由相交弦定理可知，所以5.(2015·广东高考理科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.【解题指南】可作辅助线OC,然后利用直角三角形射影定理求得.【解析】如下图所示，连接，因为，又，所以，又为线段的中点，所以，在中，，由直角三角形的射影定理可得即答案:86.(2015·广东高考文科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,AB为圆O的直径,E为AB的延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2,则AD=.【解题指南】作辅助线OC,先利用切割线定理求出BE,再利用平行线分线段成比例求出AD.【解析】连结，则，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以，即，解得：或（舍去），所以，答案:3三、解答题7.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T20)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线.(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△ABC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACE+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,所以∠OED=90°,DE是☉O的切线.(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.8.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T22)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线.(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△ABC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACE+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,所以∠OED=90°,DE是☉O的切线.(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.9.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T22)如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC.(2)若AG等于圆O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.【解题指南】(1)要证明EF∥BC,可证明AD⊥BC,AD⊥EF.(2)先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF的面积之差求解.【解析】(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线,又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF,从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为O...
