高中数学指数函数的实际应用分类例析学法指导VIP专享VIP免费

指数函数的实际应用分类例析柏晓燕指数函数是基本初等函数之一，它不仅是一种重要的初等函数，同时，它在生活、生产等实际活动中也应用广泛，如在疾病控制与统计、生物学、物理学、国民经济活动、存款利率、人口预测、工业生产等问题上都可以运用其进行解决，下面分类例析。一、疾病控制与统计方面的应用例1某地区心脏病发病人数呈上升趋势，经统计分析，从1998年到2007年的10年间每两年上升2%，2006年和2007年两年共发病815人，如果不加控制，仍按这个比例发展下去，从2008年到2011年将有多少人发病？解：设从2006年起第x个两年心脏病发病人数为y，a为第一个两年间发病人数，依题意得，显然，即。2008年到2011年总计发病人数为（人）。答：2008年到2011年将有1680人发病。点评：以2006年和2007年两年发病人数为初始人数，照此发展下去，这一类型满足指数函数的数学模型，本题应注意两年是一整体。二、在生物学上的应用例2某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由1个分裂成2个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过_______小时。解：设分裂x次后的细菌数为y，依题意，得。当这种细菌由1个繁殖成4096个时，，即，所以，即经过次分裂，又每15分钟分裂一次，所以需经过（分钟），即需经过3小时。点评：细菌繁殖问题是典型的指数函数的数学模型。三、在物理学上的应用例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质约是原来的。问：经过多少年，剩余的物质是原来的？解：设经过x年后剩余物质的量为y，先求剩余量y随时间x变化的函数关系式，即。由题意，，所以。答：经过三年后，剩余的物质是原来的。点评：物理和数学本来就是关系极强的学科，要想学好物理，数学基础必须好，很多物理问题对数学知识依赖较强。四、国民经济活动中的应用例4某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选择二次函数或（其中a、b、c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。解：设两个函数分别为，。依题意有解得所以，（万件）。依题意也有解得所以。（万件）。经比较可知，比更接近于四月份的产量。答：选用作为模拟函数较好。点评：比较两个模拟函数的哪个更合适，就是比较月份与产量的关系哪个反映得更准确，先根据前三个月份的数据用待定系数法求得满足的解析式，再验证第四个月，比较误差差异就可以了。五、在存款利率中的应用例5按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，计算5期后的本利和是多少？解：已知本金为a元，1期后的本利和为；2期后的本利和为；3期后的本利和为；……x期后的本利和为。将，，代入上式得：（元）。答：复利函数式为，，5期后的本利和为元。点评：复利是一种计算利息的常用方法，也就是把前一期的利息和本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息。六、在工业生产上的应用例6某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若开始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？解：设需过滤n次依题意得，即，因为，，所以。答：至少应过滤8次才能使产品达到市场要求。点评：每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为，结合按市场要求杂质含量不能超过1‰，即可建立数学模型。实际问题转化为数学问题时一定要读懂题意。