第四章4.3请同学们认真完成[练案8]A级基础巩固一、选择题1．函数y＝ex与y＝lnx的图像(D)A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[解析] 函数y＝ex与y＝lnx是互为反函数，∴其图像关于直线y＝x对称．2．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过(B)A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限[解析]因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．3．函数y＝f(x)的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点(D)A．(1,2)B．(2,1)C．(1,3)D．(3,1)[解析] 互为反函数的图像关于直线y＝x对称，∴点(1,3)关于直线y＝x的对称点为(3,1)，故选D．4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(8)＝(A)A．3B．C．－3D．－[解析]由题意可知f(x)＝logax，f(2)＝loga2＝1，a＝2，即f(x)＝log2x，f(8)＝log28＝3．5．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是(AC)A．[－1,1]B．(－∞，0]C．[－2,4]D．[2,4][解析]函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y＝2|x|在[－1,1]，[－2,4]上不单调．二、填空题6．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5,2)，则b＝__1__．[解析]由互为反函数的图像关于直线y＝x对称可知，点Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的图像上，∴5＝22＋b，∴b＝1．7．函数f(x)＝的反函数是__f－1(x)＝4－x2(x≥0)__．[解析]函数的值域为[0，＋∞)，令y＝，将其中的x，y对调得x＝，解得y＝4－x2，所以反函数f－1(x)＝4－x2(x≥0)．8．若函数y＝f(x)的反函数是y＝－(－1≤x≤0)，则原函数的定义域是__[－，－1]__，f(－1)＝__－1__．[解析]因为原函数的定义域为反函数的值域，又－1≤x≤0，所以1≤2－x2≤2，即y∈[－，－1]．令－＝－1，解得x＝±1，因为原函数的定义域为[－，－1]，所以x＝－1．三、解答题9．已知y＝x＋a与y＝3－bx互为反函数，求a、b的值．[解析]由y＝x＋a，得x＝2y－2a，∴y＝2x－2A．即函数y＝x＋a的反函数为y＝2x－2a，由已知得函数y＝2x－2a与函数y＝3－bx为同一函数，∴，∴．10．求下列函数的反函数．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)；(3)f(x)＝．[解析](1)设y＝f(x)＝． x≠－，∴y≠0．由y＝，解得x＝．∴f－1(x)＝(x≠0)．(2)设y＝f(x)＝1－． －1≤x＜0，∴0＜y≤1．由y＝1－，解得x＝－．∴f－1(x)＝－(0＜x≤1)．(3)设y＝f(x)＝，当0≤x≤1时，－1≤y≤0，由y＝x2－1，得x＝；当－1≤x＜0时，0＜y≤1，由y＝x2，得x＝－．∴f－1(x)＝．B级素养提升一、选择题1．若f(lnx＋1)＝x，则f(5)＝(C)A．log5eB．ln4C．e4D．4e[解析]解法一：令lnx＋1＝t，则x＝et－1，∴f(t)＝et－1，∴f(5)＝e5－1＝e4．解法二：令lnx＋1＝5，则lnx＝4，∴x＝e4，∴f(5)＝e4．2．若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则a的值为(B)A．1B．－1C．±1D．任意实数[解析]因为函数图像本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，)与(，1)均在原函数图像上，故可得a＝－1．3．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(C)A．－eB．－C．D．e[解析] 函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，∴f(x)＝lnx，又 函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，∴g(x)＝－lnx，∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝．4．函数y＝10x2－1(0＜x≤1)的反函数是(D)A．y＝－(x＞)B．y＝(x＞)C．y＝－(＜x≤1)D．y＝(＜x≤1)[解析]由y＝10x2－1(0＜x≤1)，得x2－1＝lgy，即x＝．又 0＜x≤1，即－1＜x2－1≤0，∴＜10x2－1≤1，即原函数的值域为(，1]．∴原函数的反函数为y＝(＜x≤1)．二、填空题5．若点(1,2)既在y＝的图像上，又在其反函数的图像上，则a＝__－3__，b＝__7__．[解析]由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y＝的图像上，∴，解得．6．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝__2__．[解析]令g(x)＝1，则2lgx＝0，∴x＝1． f(x)与...
