第3章三角函数、解三角形第5讲第1课时A组基础关1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．－答案B解析cos2α＝1－2sin2α＝1－＝，故选B.2．已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos2θ的值为()A．－B.C．－D.答案A解析依题意得tanθ＝＝－，cos2θ＝＝＝＝－，故选A.3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为()A.B.C.D.答案B解析原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.4．(2018·榆林模拟)已知α∈，sinα＝，则tan＝()A.B．－C．7D．－7答案C解析因为α∈，sinα＝，所以cosα＝＝，tanα＝＝.tan2α＝＝＝，所以tan＝＝＝7.5.的值为()A．2＋B．2－C．2D.答案B解析原式＝＝＝＝＝＝2－.6．(2019·大庆模拟)已知α，β都是锐角，且sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝答案B解析因为sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝sin.因为α，β∈，所以α－β∈，－α∈.又因为y＝sinx在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝.7．(2018·枣庄二模)已知tan＝，则sin2α＝()A．－B.C．－D.答案B解析因为tan＝，所以sin2α＝cos＝＝＝＝.8．计算：＝________.答案解析原式＝＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.9．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________.答案1解析由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.10．(2018·和平区模拟)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为________．答案或解析3sinx＝1＋cos2x＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0，∴sinx＝或－2(舍去)．又∵x∈[0,2π]．∴x＝或.B组能力关1．(2018·辽宁五校协作体模拟)若sin＝，则cos＝()A.B.C．－D．－答案D解析∵sin＝，∴cos＝，∴cos＝cos2＝2cos2－1＝－.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝______.答案－解析解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.3．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.答案解析依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.4．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.5．已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解(1)coscos＝cossin2＝sin＝－，即sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.(2)∵α∈，∴2α∈，又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.3
