导数的热点问题1．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．(2)y′＝－＝，令y′＝0，得v＝10，当010时，y′>0，函数单调递增，∴当00时，f(x)>g(x)．(1)解因为f′(x)＝1－＝，①若a≤0，则f′(x)>0在定义域内恒成立，∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，则由f′(x)>0，解得x<－或x>，由f′(x)<0，解得－0)，h′(x)＝1－－＝(x>0)，设p(x)＝x2－x－a，则由a>0知，方程p(x)＝0的判别式Δ＝1＋4a>0，设p(x)＝0的正根为x0，∴x－x0－a＝0， p(1)＝1－1－a＝－a<0，∴x0>1，又p(0)＝－a<0，∴h(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，h(x)min＝h(x0)＝x0＋－lnx0－1＝x0＋－lnx0－1＝2x0－lnx0－2，令F(x)＝2x－lnx－2，F′(x)＝2－＝>0恒成立，∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，又 F(1)＝2－0－2＝0，∴F(x)>0，即h(x)min>0，∴当x∈(0，＋∞)且a>0时，f(x)>g(x)．3．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x＋m(m∈R)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x10)，则F′(x)＝－1＝(x>0)，当x>1时，F′(x)<0，当00，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x＝1处取得最大值－1－m，若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1.(2)证明由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，则m<－1,0F，由F(x1)＝F(x2)＝0，m＝lnx1－x1，即证ln－－m＝ln－＋x1－lnx1<0，令h(x)＝－＋x－2lnx(00，故h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)0得x>0，由f′(x)<0得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又 f(－2)＝4－>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，∴f(x)有两个零点．(2)证明 f′(x)＝ex＋2x， x＝0是f(x)的极值点，∴f′(0)＝a－1＝0，∴a＝1，∴f(x)＝(x－1)ex＋x2，故要证(x－1)ex≥ln(x－1)＋x＋1，令x－1＝t，t>0，即证tet＋1≥lnt＋t＋2(t>0)，设h(x)＝ex·ex－lnx－x－2(x>0)，即证h(x)≥0(x>0)，h′(x)＝e·ex(x＋1)－－1＝e(x＋1)(x>0)，令u(x)＝ex－(x>0)，u′(x)＝ex＋>0，∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，又u(1)＝e－>0，u＝－e<0，故u(x)＝0有唯一的根x0∈(0,1)，＝，当0x0时，u(x)>0，h′(x)>0，∴h(x)≥h(x0)＝ex0·－lnx0－x0－2＝ex0·＋ln－x0－2＝1＋x0＋1－x0－2＝0.综上得证．5．已知函数f(x)＝＋lnx(其中a>0，e≈2.7)．(1)当a＝1时，求函数f(x)在(1，f(1))点处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)求证：对于任意大于1的正整数n，都有lnn>＋＋…＋.(1)解 f(x)＝＋lnx，∴f′(x)＝(x>0)，∴f′(1)＝0， f(1)＝0，∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程...
