第4讲平面向量的应用举例1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.2．(2017年天津大联考)如图X441，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E为DC的中点，那么AC与EB所成角的余弦值为()图X441A.B．－C.D．－3．(2015年山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a24．(2016年天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.5．(2018年天津)在如图X442所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()图X442A．－15B．－9C．－6D．06．在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AD·BE＝1，则AB的长为________．7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DC的最大值为________．8．(2015年安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是____________．(写出所有正确结论得序号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.9．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，若向量满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的取值范围是__________．10．(2018年河南中原名校质量考评)已知AB是圆C：(x－1)2＋y2＝1的直径，点P为直线x－y＋1＝0上任意一点，则PA·PB的最小值是()A．1B．0C.D.－111．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为()A．－2B．3－C．－1D．012．(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且AE＝EB，AD＝2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是()A.AB·CE＝－1B.OE＋OC＝0C．|OA＋OB＋OC|＝D.ED在BC方向上的投影为第4讲平面向量的应用举例1．D解析：方法一，将|a＋b|＝|a－b|两边平方并整理得a·b＝0，∴a⊥b，将|a＋b|＝2|b|两边平方得a2＝3b2.记向量a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，∴θ＝.图D153方法二(推荐解法)，如图153，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为一组邻边构造平行四边形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b，由|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，得OC＝AB＝2OB，故平行四边形OACB是矩形，且∠COA＝，即a＋b与a的夹角为.2．C解析：AC＝AB＋AD，|AC|2＝|AB＋AD|2＝7；EB＝AB－AE＝AB－AD，|EB|2＝|AB－AD|2＝1.故AC·EB＝(AB＋AD)·＝，cos〈AC，EB〉＝＝.故选C.3．D解析：方法一，如图D154，BD＝BC＋CD，又∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，从而可知BC与CD夹角为60°，又BC＝CD＝a，∴BD·CD＝(BC＋CD)·CD＝BC·CD＋|CD|2＝a·acos60°＋a2＝a2.故选D.图D154图D155方法二，由菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°得∠BCD＝120°，∠ABD＝30°，在△BCD中，由余弦定理得BD＝a，∴BD·CD＝BD·BA＝a·acos30°＝a·a·＝a2.故选D.方法三，如图D155建立平面直角坐标系，则C(a,0)，A，B(0,0)，∴BD＝BA＋BC＝，又CD＝BA＝，∴BD·CD＝·＝＋＝，故选D.4．B解析：方法一，如图D156，BC＝AC－AB，AF＝AD＋DF＝AB＋DE＝AB＋AC，∴BC·AF＝(AC－AB)·＝|AC|2－|AB|2－AC·AB＝－－＝.故选B.图D156图D157方法二，建立平面直角坐标系，如图D157.则A，D，∴BC＝(1,0)，DE＝，又DE＝2EF，∴DF＝DE＝.又AD＝，∴AF＝AD＋DF＝，∴BC·AF＝(1,0)·＝，故选B.5．C解析：如图D158，连接MN，由BM＝2MA，CN＝2NA，可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则BC＝3MN＝3(ON－OM)．由题意，可知OM2＝12＝1，OM·ON＝·cos120°＝－1.结合数量积的运算法则，可得BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OM－3OM2＝－3－3＝－6.故选C.图D1586．6解析：BE＝BC＋CE＝AD－AB，AD·BE＝AD·＝AD2－AD·AB＝|AD|2－|AD|×|AB|cos60°＝4－×2|AB|×cos60°＝1，则AB的长为6.7．1解析：方法一，如图D159，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，DE＝(t，－1)，DC＝(1,0)，∴DE·DC＝t≤1.图D159方法二，选取{AB，AD}作为基底，设AE＝tAB，0≤t≤1，则DE·DC＝(tAB－AD)·AB＝t≤1.方法三，设AE＝tAB，则DE·DC＝DE...
