质量检测(二)(时间90分钟满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝()A.ACB.ADC.BDD.BE[解析]AB＋BC－DC＝AC＋CD＝AD.[答案]B2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)[解析] a∥b，∴－＝，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．[答案]B3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是()A.AB＋BC＋ACB.AM＋MB＋BCC.AM＋BM＋CMD．3AM＋AC[解析]由题意知AM＋BM＋CM＝0， 0∥AB，∴选C.(注意利用结论：在△ABC中，对△ABC的重心M有AM＋BM＋CM＝0)[答案]C4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是()A．－1B．1C．－2D．2[解析]由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0. |a|＝，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，∴10λ＋10＝0，λ＝－1.[答案]A5．若|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是()A.B.C.D.[解析]由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，即a与b的夹角是.[答案]B6．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[解析]由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，∴2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.故选C.[答案]C7．P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心[解析] PA·PB＝PB·PC，∴PB·(PA－PC)＝0，∴PB·CA＝0，∴PB⊥CA.同理PC⊥AB，PA⊥BC，∴P是△ABC的垂心．[答案]C8．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2,1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为()A．0B.C.D.[解析]由题意知b－c＝(－3,1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，依题意得解得∴c＝(1,2)，而b·c＝－2×1＋1×2＝0，∴b⊥c.[答案]C9．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设AD＝a，BE＝b，则BC等于()A.a＋bB.a＋bC.a－bD．－a＋b[解析]由题意得BE＝(BA＋BC)，所以2BE＝BA＋BC，①同理得2AD＝AB＋AC＝－BA＋(BC－BA)＝－2BA＋BC，即2AD＝－2BA＋BC.②①×2＋②得4BE＋2AD＝3BC，即4b＋2a＝3BC，所以BC＝a＋b.选B.[答案]B10．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m⊗n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m⊗p＝m成立，则向量p为()A．(1,0)B．(－1,0)C．(0,1)D．(0，－1)[解析]因为m⊗p＝m，即(a，b)⊗(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，所以即由于对任意m＝(a，b)，都有(a，b)⊗(x，y)＝(a，b)成立．所以解得所以p＝(1,0)．故选A.[答案]A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．[解析]设|AB|＝x，x>0，则AB·AD＝x.又AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.[答案]12．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.[解析] λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb∴∴[答案]13．如图，在平行四边形中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．[解析]AP·BP＝(AD＋DP)·(BC＋CP)＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AB2＋AB·AD＝25－×64－AB·AD＝13－AB·AD＝2，故AB·AD＝22.[答案]2214．如图所示，设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．[解析]根据题意，设AM＝AB，AN＝AC，则AP＝AM＋AN，且四边形AMPN为平行四边形，所以NP∥AB，所以＝＝.同理可得＝.故＝.[答案]4∶5三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，(1)c∥d；(2)c⊥d.[解]由题意得a·b＝|a||b|cos6...
