考点34立体几何中的向量方法一、填空题1.(2015·四川高考理科·T14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.【解析】如图,建立空间坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0≤m≤2),则=(2,1,0),=(1,-m,-2),cosθ=令t=2-m(0≤t≤2),cosθ=答案:二、解答题3.（2015·安徽高考理科·T19）如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F（1）证明：(2)求二面角余弦值.【解题指南】（）利用线面平行的判定和性质定理；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解。【解析】（1）因为平面,平面，所以平面,又平面，平面平面=EF，所以EF//.(2)以A为原点，分别以为x轴，y轴，z轴单位正向量建立空间直角坐标系，则A(0，0，0),B(1，0，0),D(0，1,0),而E是的中点，所以点E的坐标为（0.5,0.5,1）.设平面的法向量，又,由,得:,令，则，设平面的法向量，又,由同理可得:，所以结合图形可得二面角的余弦值为。4.(2015·天津高考理科·T17)(本小题满分13分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.【解题指南】以A为原点建立空间直角坐标系.(1)求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量,两个向量的乘积等于0即可.(2)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.(3)设=λ,代入线面角公式计算可解出λ的值,即可求出A1E的长.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M(1,,1),N(1,-2,1),所以=(0,-,0).依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.由此可得·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0),=(0,1,2).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则，得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有，于是.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)设直线NE与平面ABCD所成角为θ,依题意,可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得sinθ==，整理得，又因为，解得.所以,线段A1E的长为.5.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T18)(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC.(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【解析】(1)连结BD,设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.又因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得,,,，所以,.故.所以直线与直线所成角的余弦值为6.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T19)(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由).(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则,.所以可取，又，故.所以与平面所成的角的正弦值.7．(2015·山东高考理科·T17)(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分...
