课时分层作业(二十)用平面向量坐标表示向量共线条件(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是()A．a＝(－2,4)，b＝(0,3)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(2，－1)，b＝(3,7)D．a＝(4，－2)，b＝(－8,4)D[对于D选项b＝－2a，即a∥b，故a与b不能作为平面内所有向量的一组基底．]2．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－B.C．－或D．0C[由a∥b⇒m2＝1×2⇒m＝或m＝－.]3．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13C[设C(6，y)，∵AB∥AC，又AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8×(y＋6)－3×8＝0，∴y＝－9.]4．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°B[由a∥b，可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.]5．在ABCD中，已知AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则CO的坐标是()A.B.C.D.B[由向量加法的平行四边形法则可得AC＝AD＋AB＝(3,7)＋(－2,3)＝(1,10)，∴CO＝－AC＝.]二、填空题6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．或[由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)＝b.由⇒又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.]7．向量a＝(1，－2)，向量b与a共线，且|b|＝4|a|，则b＝________.(4，－8)或(－4,8)[因为b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)，又|b|＝4|a|，所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b＝(4，－8)或(－4,8)．]8．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.－1[a与b共线，则x2－1＝0，解得x＝±1，当x＝1时，a＝b，不合题意；当x＝－1时，a＝－b，满足题意．]三、解答题9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求点C，D和向量CD的坐标．[解]设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)，因为AC＝AB，DA＝－BA，所以(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，则有和解得和所以点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，CD＝(－2，－4)．10.如图，在△OCB中，A是CB的中点，D是OB的靠近B点的一个三等分点，DC与OA交于点E，若OE＝λOA，求实数λ的值．[解]∵C，E，D三点共线，∴存在实数x，有CE＝xCD，∴OE－OC＝x(OD－OC)，∴λOA－OC＝x，又点A是CB的中点，∴λ·(OB＋OC)－OC＝x，∴OB＋OC＝xOB－xOC，∴∴λ＝.[等级过关练]1．若AB＝i＋2j，DC＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量)，AB与DC共线，则x，y的值可能分别为()A．1,2B．2,2C．3,2D．2,4B[因为AB＝(1,2)，DC＝(3－x,4－y)，又AB∥DC，所以4－y－2×(3－x)＝0，即2x－y－2＝0，可知B合适．]2．已知a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝()A.B．－C.D．－A[∵a∥b，∴3cosα－4sinα＝0，即tanα＝.]3．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．[－1，＋∞)[∵a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)且满足a∥b.∴6(x2－2x)－6a＝0，即x2－2x－a＝0.因为存在实数x，则方程有解，所以Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1，即a的取值范围是[－1，＋∞)．]4．已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且＝，又点P是线段OB的中点，则B点的坐标是________．(4,2)[∵＝，∴＝.∵O(0,0)和A(6,3)，∴OP＝OA＝(2,1)．又P为OB的中点，∴OB＝2OP＝(4,2)，即B点坐标为(4,2)．]5．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．[解]以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系，如图所示，∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，F(6,4)，E(3,0)，设P(x，y)，AP＝(x，y)，AF＝(6,4)，EP＝(x－3，y)，EC＝(3,6)．由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得∴∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝.
