换元引参与整体思想（罗运河）VIP专享VIP免费

换元引参与整体思想瓯海任岩松中学罗运河【立意和思路】整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。换元思想内涵丰富，是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神”，更要从宏观之中探“世界”。换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可或缺的角色由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实用性和思想方法，因此，在这里安排8道例题分两课时完成，第一课时突出换元引参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。这里需要说明的是，下面编排的例题主要是提供一种复习思路，仅供参考，特别是第二轮复习要讲究问题的综合性和一题多解，应考虑到不同层次的学生水平安排例题进行教学。由于本人水平有限、时间仓促，难免使考虑的问题出现漏洞或不成熟的情况，敬请批评指正。【高考回顾】换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它渗透到数学中的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。如98年高考题的最后一题（即本案例8），考查了数列中整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长，远不如整体代入运算来得简捷；99年的填空题（即本案中的例5（1））考查了学生的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如2000年的解答题（即本案的例4），其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大检验。这些数据充分说明这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更是我们潜心研究的科目。这里需要指出的是，2004年我们浙江卷第17题也体现了整体思想，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重要，只能说明命题人的构思不同罢了。【基础知识梳理】换元引参是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出原变量的结果。换元法常与所考虑问题的整体因素有关，其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，以实现从未知向已知转化，从而达到解题的目的。转化的方式主要是分式向整式、无理向有理、超越向初等以及函数、三角、几何等的互化。引入参变量，作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介。使我们有可能对运动的过程作出定量的刻划，消化问题的难点，促使问题转化，达到简捷解决问题的目的。解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破，分而治之。有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构等，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过整体结构的调节和转化使问题获解，这种对数学问题的整个过程进行研究的思想方法即为整体思想。用心爱心专心在解题时，要细察命题的外形，把握问题的特征展开联想，创设整体常常会使解题思路出现峰回路转、豁然开朗的情景。【例题精选】例1：求下列函数的最值1）2）3）【思路点拔】1）通过观察，注意到式子含有的关系，可令，则，于是问题转化为二次型：，函数是增函数，2）分析的本质是平方关系，故可令，则，若；若，则时，。3）此题中的根号与2）题有本质的区别，不宜用替换，注意到，故可令，当，；【点评】①在换元法中，注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题；把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定。②问题1）的同类问题还有的关系；问题2）的一般形状为：，3）的一般形状为；③求最值问题还可以考虑用导数求解，但这里换元可简化计算过程。例2：解关于x的不等式：【思路点拔】易观察到与的倒数关系，令，得，即，不等式的解集为：，不等式的解集为：...