美术班专用复习资料（数学）第五章、平面向量第一讲、平面向量的概念与运算一、知识清单：1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:…或…等；向量的长度即向量的模记作||。(2)零向量：其方向：(3)单位向量：单位向量不唯一.(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反.规定：与任意向量平行。(5)相等向量：长度相等且方向相同.2.向量加法:设，(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法则”或“三角形法则”进行。如图+==。或+=规定：；(2)向量加法满足交换律与结合律；3.向量的减法（1）相反向量：关于相反向量有：①=；②+()=()+=；③若、是互为相反向量，则=,=,+=。（2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。如上图表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。(3)温馨提示：①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。②三角形法则的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零.差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4.实数与向量的积(1)实数λ与向量的积：①是个向量;②模等于③方向λ>0时与同向,λ<0时与反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5.向量共线定理：向量与非零向量共线怎样判定向量共线——(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.用心爱心专心DCBA6.平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、例题讲解：1、已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量（A）A.BC.D.2、已知向量，且则一定共线的(A)A.Ａ、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D3、在平行四边形ABCD中,,,,M为BC的中点,=__________（用表示）4、如图,在梯形ABCD中,G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量。解：（1） E,F分别是两腰的中点，∴,又，，两式相加得；（2）设，，由得：∴,5、如图，正六边形中，有下列四个命题：A．B．C．D．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）6、已知a是平面内的单位向量，若向量b满足()0bab，则||b的取值范围是。用心爱心专心GFEDCBA图1ABDECF[01]，7、设为非零向量，则下列命题中,真命题的个数是______2①与有相等的模；②与的方向相同；③与的夹角为锐角；④且方向相反．8、已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（Ａ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、对于向量和实数，下列命题中真命题是（B）A．若，则或B．若，则或C．若，则或D．若，则10、若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则（Ａ）(A)｜2｜＞｜一2｜(B)｜2｜＜｜一2｜(C)｜2｜＞｜2一｜(D)｜2｜＜｜2一｜第二讲、平面向量的坐标表示一、知识清单、1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。(1)若,则(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)则,表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.(3)向量相等坐标相同。用心爱心专心2.平面向量的坐标运算(1)若，则(2)若=(x,y)，则=(x,y)(3)若，则3.设则向量共线:向量垂直:，二、例题讲解：1、已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于(D)A.1B.C.D.2、已知向量，且A.B.C三点共线，则k=.3、已知向量不超过5，则k的取值范围是[－6，2]设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，O为坐标原点，则满足+=的的坐标是＿＿＿＿（11，６）4、已知向量，,向量与平行,︱︱=4则向量的坐标是_____________或5、已知向量。（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最大值。6、已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是(D)A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7、已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于(D)A.B.－C.2D.－28、已知平...
