高中数学 第一章 三角函数 6.1余弦函数的图像、6.2余弦函数的性质 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

§6余弦函数的图像与性质6．1余弦函数的图像6．2余弦函数的性质,)1．问题导航(1)由y＝sinx(x∈R)的图像得到y＝cosx(x∈R)的图像，平移的方法唯一吗？(2)五点法作余弦函数的图像与作正弦函数的图像所取的五点不同，为什么？(3)余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形，但它是偶函数不是奇函数，为什么？2．例题导读P32例．通过本例学习，学会用五点法作函数y＝acosx＋b的简图，并能根据图像讨论函数的性质．试一试：教材P34习题1-6A组T2你会吗？1．余弦函数图像的画法(1)变换法：根据诱导公式sin＝cosx及函数图像平移知识，得将y＝sinx的图像向左平移个单位得到y＝cosx的图像，余弦曲线如图所示．(2)五点法：在函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像上，有5个关键点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．描出五个关键点，用平滑的曲线连接，可得y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，再向左、右平移得y＝cosx，x∈R的图像．2．余弦函数的图像与性质图像性质定义域R值域[－1，1]最值当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1周期性周期函数，最小正周期T＝2π奇偶性偶函数，图像关于y轴对称单调性在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y＝cosx是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条．()(2)余弦函数y＝cosx的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)函数y＝acosx(a≠0)的最大值为a，最小值为－a.()(4)函数y＝cosx(x∈R)的图像向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)＝－sinx．()解析：(1)正确．由余弦函数的性质知，它是偶函数，图像关于y轴对称，直线x＝kπ(k∈Z)为其对称轴．1(2)正确．余弦函数y＝cosx的图像关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，也关于点(k∈Z)对称．(3)错误．要对a分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值．(4)正确．可得g(x)＝cos＝－sinx，即g(x)＝－sinx.答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是()A．(π，－1)B．(0，2)C.D．解析：选A.由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，，(π，4)，，(2π，2)，故A错误．3．函数y＝－3cosx＋2的值域为()A．[－1，5]B．[－5，1]C．[－1，1]D．[－3，1]解析：选A.因为－1≤cosx≤1，所以－1≤－3cosx＋2≤5.4．已知函数y＝－cosx，x∈，则其递增区间为________．解析：当x∈[0，2π]时，函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－cosx在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．答案：[0，π]1．余弦函数图像的画法(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y＝cosx写成y＝sin，然后利用图像平移得到y＝cosx的图像．(2)“五点法”：在已知函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比较常用的一种画图方法．余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．2．余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法．(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论．即数形结合思想的运用．3．余弦函数的对称性(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的交点，此时的余弦值为0.(2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．4．余弦函数的周期性类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)，容易得出．5．对余弦函数最值的两点说明(1)明确余弦函数的有界性，即－1≤cosx≤1.(2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．画余弦函数的图像并讨论其性质画出函数y＝3＋2cosx的简图，根据图像讨论函数的性质．(链接教材P32例)[解](1)列表，如下表所示x0ππ2πy＝cosx10－101y＝3＋...