专题19平面向量的基本定理及其坐标表示1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件热点题型一平面向量基本定理及其应用例1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点。设BA＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD。解析：EF＝EA＋AB＋BF＝－b－a＋b＝b－a，DF＝DE＋EF＝－b＋＝b－a。CD＝CF＋FD＝－b－＝a－b。【提分秘籍】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)合理地选取基底是解题必须具备的意识和能力。用基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决。(2)要注意运用平面几何的一些性质、定理来解题。热点题型二平面向量的坐标运算例2、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设【变式探究】已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b。(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标。解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴解得解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴解得【提分秘籍】向量坐标运算的方法技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用。【举一反三】已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)解析：a＝，b＝，故a－b＝(－1，2)。答案：D热点题型三平面向量共线的坐标表示例3．【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)。回答下列问题：(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d。解析：(1)a＋kc＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，∴＝。∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－。【提分秘籍】1．根据向量共线的坐标运算求参数的值利用向量共线转化为含参数的方程，解方程可求参数。2．利用向量共线的坐标运算求三角函数值利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解。【举一反三】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__________。1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理2.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】平面向量的坐标运算；函数的最值3.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【考点】平面向量的运算.1.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是()（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】甴...
