高三月考试卷（四）理科数学命题：长沙市一中高三数学备课组时量:120分钟满分:150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知sin10°=a，则cos100°的值为（C）A．aB．C．-aD．-2.已知函数f(x)=2+logax(a＞0,且a≠1),f--1(x)是f(x)的反函数，若f-1(x)的图象过点（6，4），则a等于（B）A.1B.C.2D.33．设双曲线=1（a＞0,b＞0）的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则此双曲线的方程为（D）A.x2-y2=1B.2x2-2y2=1C.=1D.=14.圆x2+y2=4上到直线x+y-=0的距离等于1的点的个数为（A）A.3B.2C.1D.05.已知点P（x,y）在不等式组A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]6.在△ABC中，若∠A=45°，AB=2，BC=a,则a=是△ABC只有一解的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.若函数y=f(x)同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；(2)图象关于直线x=对称；（3）在区间[-，]上是增函数，则y=f(x)的解析式可以是（B）A.y=sin(+)B.y=sin(2x-)C.y=cos(2x+)D.y=cos(2x-)8.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，D是AB的中点，动点P满足=[(2-2λ)+（1+2λ）](λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的（C）A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】=(1-λ)+(1+2λ)，因为（1-λ）+（1+2λ）=1，所以P、C、D三点共线，点P的轨迹一定过△ABC的重心.x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（C）9.抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则||的最大值为（B）A.B.C.D.不存在【解析】设抛物线方程为y2=2px(p＞0),则顶点及焦点坐标为O（0，0），F（，0），若设点M坐标为M（x,y）,则（）2=，设t=,则x2+2px=x2t+tpx+t=0,即（1-t）x2+(2p-tp)x-t=0,当t=1时，则x=,当t≠1时,(1-t)x2+(2p-tp)x-t=0是关于x的一元二次方程，且有实数解，则△=(2p-tp)2+4(1-t)··t≥0,解得t≤，当x=p时等式成立.综上，当x=p时，tmax=，所以||的最大值为.10.已知t＞0,关于x的方程|x|+=,则这个方程有相异实根的个数是（C）A.0或2个B.0或2或4个C.0或2或3或4个D.0或1或2或3或4个【解析】令C1:y=|x|-,C2:y=-,利用数形结合知：当0＜t＜1或t＞2时，方程无实数根；当t=1时，方程有2个实数根；当t=2时，方程有3个实数根；当1＜t＜2时，方程有4个实数根.选择题答题卡题号12345678910答案CBDACABCBC二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）11.已知直线l1:ax+y+2a=0,直线l2:ax-y+3a=0.若l1⊥l2,则a=±1.【解析】若l1⊥l2,则a2-1=0,a=±1.12.已知p＞0,q＞0，p、q的等差中项为，且x=p+,y=q+,则x+y的最小值为5.【解析】 p+q=1,∴x+y=p++q+=1++=1+(+)(p+q)=3+≥5,当且仅当p=q=时等式成立.13.已知⊙O的方程是x2+y2-1=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x-8y+31=0,由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是x+y-4=0.【解析】易得|PO|=|PO′|，所以动点P的轨迹是线段OO′的垂直平分线，则动点P的轨迹方程是x+y-4=0.14.已知数列{an}对于任意p,q∈N*有apaq=ap+q,若a1=,则=.【解析】由题意得an+1=ana1,,,因此=1-（）9=.15.设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数.下列函数①f1(x)=xsinx,②f2(x)=,③f3(x)=中为Ω函数的是①③（只填序号）.【解析】 |x||sinx|≤|x|,∴f1(x)=xsinx是Ω函数.∴f2(0)=,|∴f(0)|≤|0|不满足，∴f2(x)=不是Ω函数; 当x=0时，f3(0)=0,显然符合条件；当x≠1时，|f3(x)|=≤=|x|≤|x|,∴f3(x)=是Ω函数.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知不等式|x-3|＜的解集为A，Z为整数集.()Ⅰ若A≠，求a的取值范围；()Ⅱ是否存在实数a，使A∩Z={3},若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由.解：()Ⅰ据题设-＜x-3＜,即欲A≠，必须2-＜6+a，即a＞-3.故所求a的取值范围是（-3，+∞）.（6分）()Ⅱ由A∩Z={3}知-3∴＜a≤-2.如存在实数a使A∩Z={3}，且a的范围是（-3，2].(12分)17.(本小题满分12分)若m=(sinωx,0),n=(cosωx,-sinωx)...
