【成才之路】2015-2016学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系综合检测题新人教A版必修2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面[答案]C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．3．下列命题中，错误的是()A．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β[答案]C[解析]直线l不平行于平面α，可能直线l在平面α内，此时，在平面α内存在与l平行的直线．4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有()A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[答案]A[解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α[答案]B[解析]因为已知两条不相交的空间直线a和b.所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α.6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有()1A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]B[解析]如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条[答案]C[解析]显然AB与平面α相交，且交点是AB中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，∴BC∥α.同理，AD∥α，∴在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条，故选C．8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A．B．C．D．[答案]B[解析]由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为＝.9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°[答案]C[解析]如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝. M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角． AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，∴∠CMA＝90°，故选C．210．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则()A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ，m＜nC．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n[答案]D[解析]由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2.又a＞b，∴m＞n.由已知得sinθ＝，sinφ＝，而a＞b，∴sinθ＜sinφ，又θ，φ∈(0，)，∴θ＜φ.11．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重...
