配餐作业(五十五)椭圆的综合问题(时间：40分钟)一、选择题1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析 直线方程可化为y－1＝k(x－1)，恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，故选A。答案A2．(2016·安庆六校联考)已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于()A.B.C.D.解析kAB＝－，kOP＝，由点差法得kAB·kOP＝－，得×＝－。∴＝，∴e＝＝＝。故选D。答案D3．椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A.B.C.－1D.－1解析依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有＋＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，从而e＝－1。故选D。答案D4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________。解析 椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，∴b＝1，焦点坐标为(0，c)， 过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1。答案＋x2＝17．(2017·辽阳模拟)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________。解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2。联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝。答案8．(2016·重庆模拟)已知直线l过P(2,1)且与椭圆＋＝1交于A，B两点，当P为AB中点时，直线AB的方程为____________________。解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B两点在椭圆上，所以＋＝1①＋＝1②①－②得：＋＝0，又AB的中点为P(2,1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，即＋＝0，所以kAB＝＝－，故AB的方程为y－1＝－(x－2)，即：8x＋9y－25＝0。答案8x＋9y－25＝0三、解答题9．(2016·广西质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点B到点F的距离等于焦距。(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。解析(1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1。(2)＝2等价于＝2，当直线l的斜率不存在时，＝1，不符合题意，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去x并整理得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－①，y1y2＝②，由＝2得y1＝－2y2③，由①②③解得k＝±，因此存在直线l：y＝±(x－1)，使得△BFM与△BFN面积的比值为2。答案(1)＋＝1(2)存在，直线l为y＝±(x－1)10．(2016·昆明两区七校调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2。(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当PB·PD＝0时，求点P的坐标。解析(1)由题意可知e＝＝，×2ab＝2，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程是＋＝1。(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，所以2＋x1＝⇒x1＝，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y－＝...
