高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第16讲 导数在函数中的应用——单调性练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第16讲导数在函数中的应用——单调性1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(D)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.2．若函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)内单调递增，则a的最大值是(B)A．4B．3C．2D．1依题意，f′(x)＝3x2－a≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立，所以a≤3.3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(B)A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，由图象的对称性知，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0，选B.4．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(D)(方法1)f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)>0的解集为(－∞，－)∪(0，)，则f(x)在相应区间上单调递增；f′(x)<0的解集为(－，0)∪(，＋∞)，则f(x)在相应区间上单调递减．故选D.(方法2)当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．5．若函数f(x)＝－(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围为(－∞，－1].由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立．即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，所以只要b≤－1即可．6．已知f(x)为R上的可导函数，y＝ef′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是(－∞，2)，递减区间是(2，＋∞).由图象可知：当x<0时，ef′(x)>1，f′(x)>0；当01，f′(x)>0；当x>2时，ef′(x)<1，f′(x)<0.故f(x)在区间(－∞，2)内单调递增，在区间(2，＋∞)内单调递减．7．(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．8．(2018·天河区三模)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的递减区间为(D)A．(0，4)B．(－∞，1)，(，4)C．(0，)D．(0，1)，(4，＋∞)结合图象，x∈(0，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)－f(x)<0，此时g′(x)＝<0.故g(x)在(0，1)，(4，＋∞)内递减．9．若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(－∞，2ln2－2).因为f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a，因为函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a>0有解，即a<2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，当x0，g(x)单调递增，当x>ln2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x＝ln2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以a<2ln2－2.10．(2018·武汉月考)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在x∈(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数，当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝lna，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数，当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x，因为g(x)在(2，＋∞)上为增函数，所以g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在x∈(2，＋∞)上恒成立，即m≤在x∈(2，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，h′(x)＝＝.L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1>0在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)>L(2)＝e2－4>0，h′(x)>0.即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，所以h(x)>h(2)＝.所以m≤.