5月15日向量数量积的概念辨析高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆下列判断：①若，则；②已知是三个非零向量，若，则；③共线；④；⑤；⑥非零向量满足：，则a与b的夹角为锐角；⑦若的夹角为，则表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是___________________.【参考答案】①②【试题解析】由于，所以，若，则，故①正确；若，则，又是三个非零向量，所以，所以，故②正确；共线，所以③错；对于④，应有，所以④错;对于⑤,应该是,所以⑤错；当a与b的夹角为0°时，也有,因此⑥错;表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑦错.综上可知①②正确.【解题必备】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.1．以下四种说法中正确的是________．①如果a·b＝0，则a＝0或b＝；②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果AB·BC＝0，那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.2．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．1．③④【解析】由数量积的定义知a·b＝|a||b|cosθ(θ为向量a，b的夹角)．①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝，故①错；②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB·BC＝0知B＝90°，故ABC为直角三角形，故③正确；④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．2．－,－4【解析】设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cosθ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cosθ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cosθ＝＝＝－4.5月16日求数量积、向量的模或夹角高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆（1）已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)；（2）若且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【参考答案】（1）见试题解析；（2）C【试题解析】（1）①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.（2）由，得，又，所以，设向量与的夹角为，则，所以，即向量与的夹角为120°.故选C.【解题必备】1.已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角.2.求较复杂的数量积运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.1．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为A．2B．4C．6D．122．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为A．－B.C．±D．13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．1．C【解析】 (a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.2．B【解析】 3a＋2b与ka－b互相垂直，∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0， a⊥b，∴a·b＝0，∴12k－18＝0，解得k＝，故选B.3．5或－8【解析】 3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.5月17日几何图形中的数量积问题高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★★☆☆在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=.【参考答案】-【试题解析】根据已知=(+),=-,所以·=(+)·(-)=(-1-·)=-.【解题必备】解决几何图形中的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.1．已知点P在所在平面内,且满足··=-·,则点P是的A．外心B．内心C．重心D．垂心2．若M为所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则为A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形1．D【解析】因为··,所以(-)·=0,所以·=0,⊥.同理可得⊥,⊥,所以点P为ABC的垂心.故选D.2．B【解析】由(-)·(+-2)=0可知·(+)=0,设BC的中点为D,则+=2,故·=0,所...
