§5用样本估计总体知识梳理1.在实际问题中,直接得到总体的全部数字信息往往比较困难,而常常进行抽样调查,即从总体中抽取一部分作为样本,并用样本的各种信息来估计总体的情况,主要包括样本数据的频率分布和基本数字特征.2.要估计总体频率分布情况,我们常用频率分布直方图和频率折线图来表达.3.在频率分布直方图中,纵轴表示各组的宽度,数据落在各小组内的频率用小矩形表示.各个小矩形的面积总和为1.4.连接频率分布直方图中各小矩形上端的中点,就得到频率分布折线图.随着样本容量的不断增加,所分的区间数也不断增加,而区间的长度在不断减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线.知识导学在前面我们学习的三种不同的抽样方法,目的是为了从总体中获得一个易得、有代表性的样本,这是统计的任务之一;统计的第二任务是用样本来估计总体,这也是统计的基本思想.用样本的情况估计总体的相应情况,大体上有两类,其中之一就是本节要学的“用样本的频率分布估计总体分布”.所以在学本节前,需系统回顾抽样方法.学习时可结合图形的变化,即由样本数据的频率分布直方图→折线图→总体密度曲线,理解样本数据的重要性和用样本估计总体的可行性.对于总体中个体取值较少的情况,我们常用条形图表示其样本分布;而对于个体取值较多或无限的总体,我们则常用频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图等图表形式表示样本分布.一般样本容量越大,这种估计越精确.特别注意:列(画)频率分布表(直方图)时的求解顺序,并明确频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于相应各组的频率,而各组频率的和等于1(即各个小矩形面积之和为1),体会当样本容量无限增大时,组数也相应无限增多,此时频率分布折线图就无限接近一条光滑的曲线——总体密度曲线.本节的重点是在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图和频率折线图,体会它们各自的特点.本节的难点是对总体分布概念的理解和统计思想的建立.疑难突破1.在统计中,经常用数据的频率分布直方图来估计总体的分布情况.直方图中样本的分布和总体分布的关系是什么?剖析:当样本容量较大时,样本中落在每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率.因此,我们可以用样本的频率分布直方图来估计总体在任意区间内取值的频率,也即总体的分布情况.由刚才分析可知,在样本的频率分布中,随着样本容量的不断扩大,其分布越来越接近总体分布,当样本容量无限加大,而组距无限缩小时,频率分布直方图的上方将演变成一条光滑的曲线.在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连结各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图,有时也用它来估计总体的分布情况.下面就作上面产品尺寸那个例子的频率折线图1-5-1,注意观察它与前几个图的不同点.图1-5-1由前面我们已经知道:频率分布直方图的面积为1.同样,我们不难证明:折线与横轴所围成的面积也是1,因此,当样本容量比较大时,我们还可以用频率折线图来估计总体的分布情况.2.用样本估计总体是统计的基本思想.那么在对总体分布的估计中是怎样体现这一思想的?剖析:用样本估计总体的某一指标的时候,由于样本毕竟不是总体,所以用样本来估计总体一般来说是有误差的,只是误差的大小而已.当样本的选取合理,具有代表性的时候误差就很小.例如,在全国范围内的测验中,如果民意测验者走进大学校园里去访问1000名大学生,对他们进行民意调查,他们所组成的样本将不会公平地代表全国的民意,这是因为大学生选民的比例很小,而且是一个有倾向性的团体,不能代表全体选民,这样的不公平就使得样本估计总体的误差比较大,这就是样本的选取不合理造成的.典题精讲例1某公司对已制造出售的洗衣机安全无故障运行时间进行抽样调查,以便制定技术更新计划,调查情况如下表所示:已购时间(h)1500~30003000~45004500~60006000~75007500~9000台数3004501200600450(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计机器无故障时间7500h以内的可能性.思路分析:从所给的数据表格我们知道总样本数为300+450+1200+600+450=3000...
