高考解题技术（2）抽象函数的处理方法1.代换法求抽象函数的定义域【题1】（2013，大纲理数，4题）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【解析】由已知得，从而，选B。评注：当x以（2x+1）代替时，x的取值范围立即转化为（2x+1）的取值范围.以下解不等式即可。2.特值法判抽象函数的对称性【题2】（1997，全国文数，7题）设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x－1）与y=f（1－x）的图象关于（）A.直线y=0对称B.直线x=0对称C.直线y=1对称D.直线x=1对称【解析】取，则，作出两直线的图象，如图2，由图可知，其图象关于直线x=1对称。评注：可以从理论上证明函数与函数关于直线x=1对称.注意到与的图象关于y轴对称，将它们同时右移1单位，前者得的图象，后者得的图象，也就是的图象.所以函数与函数关于直线x=1对称3.探原型求抽象函数的函数值【题3】已知函数f(x)满足：f(m＋n)＝f(m)f(n)，f(1)＝3，则＋＋＋的值等于()A．36B．24C．18D．121x=1Oyxy=x+1y=3-x图2【解析】符合f(m＋n)＝f(m)f(n)的函数原型是指数函数，∵f(1)＝3，∴得.原式改写为：，故选B.评注：如果不用特值，本题的一般解法是：∵f(m＋n)＝f(m)f(n)，∴f(2n)＝f(n)f(n)，即f(2n)＝．且有f(n＋1)＝f(n)f(1)＝3f(n)，即＝3，则＋＋＋＝＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24，故选B．显然，作为选择题如此计算并不划算.4.转换法求抽象函数中参数的范围【题4】（2013年天津卷文7）已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】是定义在R上的偶函数，所以，从而原不等式可化为，即，而在单调递增，所以，解得，选C。评注：抽象函数的不等式或方程问题常借助函数的单调性解决，只需将已知条件化为即可。5.赋值法求抽象函数的函数值【题5】(2008年陕西卷)定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2B．3C．6D．9【解析】令，得，从而；令，得，令，得，所以可得。2评注：本题的解法称为“赋值法”.目的还是一个，尽可能使抽象函数具体化6.数形结合确定抽象函数的图象.【题6】（2012年湖北卷）已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图3所示，则y=－f(2－x)的图象为（）【解析】图3中的函数可以记为：当时，；当时，.于是。比照各图象，仅B适合，故选B.评注：本题也可取特值.由图象可知因此，x=0时，y=－f(2－0)=－1，函数图象过点（0，-1）排除A，D；又x=1时，y=－f(2－1)＝－1，函数图象过点(1，－1)，排除C。所以选B。7.周期函数的处理方法【题7】（2005年福建卷）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A.2B.3C.4D.5【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0；因为f(x)是以3为周期的函数，f(2)＝0，所以f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0奎屯王新敞新疆f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0.又f(－1)＝f(2－3)＝f(2)＝0；f(x)是奇函数，可得f(－1)＝－f(1)＝0。从而f(1)＝0，f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0.因为f(x)以3为周期，所以f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5),也就是f(1.5)＝－f(1.5)，即2f(1.5)＝0,f(1.5)＝0，从而f(4.5)＝f(1.5＋3)＝0.图33由此可见，f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有7个，分别是：1，2，3，4，5，1.5，4.5,四个选项中没有正确答案。【点评】命题组给出的标准答案是D，连命题人自己也忽略了两个值，可见抽象函数问题不论是命题还是解题都应慎之又慎。4
