高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第3课时导数在不等式中的应用练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

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第3课时导数在不等式中的应用[A级基础巩固]1．函数f(x)＝lnx＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，)D．(1，)解析：由函数f(x)＝lnx＋a可得f′(x)＝，因为x0使f′(x)＝f(x)成立，所以＝lnx0＋a，又01，lnx0<0，所以a＝－lnx0>1.答案：A2．已知函数f(x)＝－1＋lnx，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2B．a<3C．a≤1D．a≥3解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋lnx≤0有解，即a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解．令h(x)＝x－xlnx，则h′(x)＝－lnx，由h′(x)＝0，得x＝1.当00，当x>1时，h′(x)<0.故当x＝1时，函数h(x)＝x－xlnx取得最大值1，所以要使不等式a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即a≤1.答案：C3．(2020·济南一中联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－98，则a的值是()A．－B.C．2D．5解析：易知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.因为f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}．所以a>0，且－2＋3＝－，－2×3＝，则3a＝－2b，c＝－18a，依题意f(x)的极小值为f(3)＝27a＋9b＋3c－17＝－98.解得a＝2，b＝－3，c＝－36.答案：C4．(2020·惠州调研)设x∈R，函数y＝f(x)的导数存在，若f(x)＋f′(x)>0恒成立，且a>0，则下列结论正确的是()A．f(a)f(0)C．ea·f(a)f(0)解析：设g(x)＝ex·f(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以g(x)在R上单调递增．由a>0，得g(a)>g(0)，即ea·f(a)>f(0)．答案：D5．(2019·天津卷改编)已知a∈R，设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为()A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]1解析：当0≤x≤1时，f(x)＝x2＋a≥a，由f(x)≥0恒成立，则a≥0，当x>1时，由f(x)＝x－alnx≥0恒成立，即a≤恒成立．设g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1e时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(e)＝e，所以a≤e.综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0，e]．答案：C6．若对任意的a，b满足00，解得00，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为________．解析：F′(x)＝＝，又f(x)－f′(x)>0，所以F′(x)<0.即F(x)在定义域上单调递减．由F(x)<＝F(1)，得x>1.所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)8．函数f(x)＝x－2sinx，对任意的x1，x2∈[0，π]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤M，则M的最小值为________．解析：因为f(x)＝x－2sinx，所以f′(x)＝1－2cosx，所以当00，f(x)单调递增；所以当x＝时，f(x)有极小值，即最小值，且f(x)min＝f＝－2sin＝－.又f(0)＝0，f(π)＝π.所以f(x)max＝π.由题意得|f(x1)－f(x2)|≤M等价于M≥|f(x)max－f(x)min|＝π－＝＋.所以M的最小值为＋.答案：＋9．已知函数f(x)＝m－2lnx(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)cosx，得f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(k∈Z)时，有sinx0，则f(x)单调递增．所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(2)...

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