考点20等差数列及其前n项和一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T3)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】选C.方法一:由题意可知,解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+99×1=98.方法二:由等差数列性质可知:S9===9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d==1,∴a100=a10+90d=98.二、填空题2.(2016·江苏高考T8)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.【解题指南】根据等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质解答.【解析】设等差数列的公差为d,则由S5=10得a3=2,因为a1+=-3,所以(2-2d)+(2-d)2=-3,整理解得d=3,所以a9=a3+6d=2+18=20.答案:203.(2016·北京高考理科·T12)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,a3+a5=0,则S6=.【解题指南】先求出公差,再代入前n项和公式.【解析】a3+a5=(6+2d)+(6+4d)=0,所以公差d=-2,S6=6×6+×(-2)=6.答案:6三、解答题4.(2016·全国卷Ⅱ理科·T17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101.(2)求数列{bn}的前1000项和.【解题指南】由等差数列的两个独立的条件a1=1,S7=28,可求出等差数列的通项公式,结合对数运算,可求出b1,b11,b101的值,在此基础上,分段求出数列{bn}的前1000项和.【解析】(1)设{an}的公差为d,S7==7a4=28,所以a4=4,所以d==1,所以an=1+(n-1)×1=n.所以b1=[lga1]=[lg1]=0,b11=[lga11]=[lg11]=1,b101=[lga101]=[lg101]=2.(2)记{bn}的前n项和为Tn,则T1000=b1+b2+…+b1000=[lga1]+[lga2]+…+[lga1000].当n=1,2,…,9时,0≤lgan<1,bn=0;当n=10,11,…,99时,1≤lgan<2,bn=1;当n=100,101,…,999时,2≤lgan<3,bn=2;当n=1000时,lgan=3,bn=3.所以T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893.5.(2016·全国卷Ⅱ文科·T17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.【解题指南】(1)先设出{an}的公差,再利用已知条件可得a1和d,进而可得{an}的通项公式.(2)根据{bn}的通项公式的特点,采用分组求和法,即可得数列{bn}的前10项和.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则解得所以数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)=.(2)由(1)可得bn=,当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4;所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.6.(2016·山东高考文科·T19)同(2016·山东高考理科·T18)已知数列的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列的通项公式.(2)令cn=,求数列的前n项和Tn.【解题指南】(1)利用an=Sn-Sn-1求数列的通项公式,再由已知条件,根据首项与公差求数列的通项公式.(2)表示出数列的通项公式后,利用错位相减法求其前n项和Tn.【解析】(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.当n=1时,a1=S1=11=6n+5.所以an=6n+5.设数列的公差为d,则a1=2b1+d=11,a2=b2+b2+d=2b1+3d=17.解得b1=4,d=3,所以bn=4+(n-1)×3=3n+1.(2)由(1)知,cn=.所以Tn=c1+c2+…+cn=,2Tn=,两式相减:-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-×2n+2]=3×=-3n·2n+2.所以Tn=3n·2n+2.
