第20讲导数的实际应用及综合应用1．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10(5－6)2＝11，解得a＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2(3＜x＜6)，所以该商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝[＋10(x－6)2](x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2(3＜x＜6)，所以f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝4时，f(x)max＝42.答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．(1)根据题意，有S＝4×x×(60－2x)＝－8(x－15)2＋1800(00，V单调递增；当201时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx.设h(x)＝2x－2－lnx，则h′(x)＝2－.当x∈(0，)时，h′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．又h(e－2)>0，h()<0，h(1)＝0，所以h(x)在(0，)上有唯一零点x0，在[，＋∞)上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0,1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈(0，)得f(x0)<.因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以e－2－x1＋2x1ln2.f(x)的定义域是(－1，＋∞)，f′(x)＝，(1)由题设知，1＋x>0，令g(x)＝2x2＋2x＋m，这是开口向上，以x＝－为对称轴的抛物线，g(－)＝－＋m，①当g(－)≥0，即m≥时，g(x)≥0，即f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立．②当g(－)<0，即m<时，由g(x)＝2x2＋2x＋m＝0得x＝－±，令x1＝－－，x2＝－＋，则x1<－，x2>－.1)当g(－1)≤0即m≤0时，x1<－1，故在(－1，x2)上，g(x)<0，即f′(x)<0，在(x2，＋∞)上，g(x)>0，即f′(x)>0.2)当g(－1)>0时，即00＋0－0＋f′(x)>0＋0－0＋f(x)递增递减递增综上：m≤0时，f(x)在(－1，－＋)上单调递减，在(－＋，＋∞)上单调递增；0
