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双曲线习题精选精讲VIP免费

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双曲线(1)双曲线定义——与椭圆相伴相离.双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差,它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上,渗透方程之中.从定义的角度讲,双曲线与椭圆的主要区别有三:1.按第一定义,双曲线要求动点到两定点距离之差为常数(小于两定点间的距离),而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数(大于两定点间的距离);2.按第二定义,双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e(e>1),而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e(0<e<1);3.按主要参数a、b、c之间的关系,双曲线要求c2=a2+b2.而椭圆则要求a2=b2+c2.【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是()A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为,故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义,是破解本题的关键.【例2】已知双曲线与点M(5,3),F为右焦点,若双曲线上有一点P,使最小,则P点的坐标为【分析】待求式中的是什么?是双曲线离心率的倒数.由此可知,解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F(6,0),离心率右准线为.作于N,交双曲线右支于P,连FP,则.此时为最小.在中,令,得取.所求P点的坐标为.(2)渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线,渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交,这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多,所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是用心爱心专心115号编辑【解析】设所求双曲线为点(1,3)代入:.代入(1):即为所求.【评注】在双曲线中,令即为其渐近线.根据这一点,可以简洁地设待求双曲线为,而无须考虑其实、虚轴的位置.(3)共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易,所得双曲线方程为:.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同;它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样;它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为,证明:=1.【证明】双曲线的离心率;双曲线的离心率.∴.(4)等轴双曲线——和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线,等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦,求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为,直线CD:y=m.代入(1):.故有:.取双曲线右顶点.那么:.即∠CBD=90°.同理可证:∠CAD=90°.用心爱心专心115号编辑●通法特法妙法(1)方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想,其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)【解析1】设AB交x轴于M,并设双曲线半焦距为c, △是等边三角形,∴点代入双曲线方程:.化简得:.( e>1,∴及舍去)故选D.【解析2】连AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知:. . e﹥1,∴取.选D.【评注】即使是解析法解题,也须不失时机地引入几何手段.(2)转换法——为解题化归立意【例7】直线过双曲线的右焦点,斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e的范围是()A.e>B.1【分析】就题论题的去解这道题,确实难以下手,那就考虑转换吧.其一,直线和双曲线的两支都有交点不好掌握,但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二,因为已知直线的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中,倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交,只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.用心爱心专心115号编辑【解析】如图设直线的倾斜角为α,双曲线渐近线的倾斜角为β.显然。当β>α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由. 双曲线中,故取e>.选D.(3)几何法——使数形结合带上灵...

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