第2课时单调性、最大值与最小值课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=|sinx|的一个单调递增区间是()A.(-π4,π4)B.(π4,3π4)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)解析画出y=|sinx|的图象即可求解.故选C.答案C2.已知函数y=2cosx的定义域为[π3,4π3],值域为[a,b],则b-a的值是()A.2B.3C.❑√3+2D.2❑√3解析根据函数y=2cosx的定义域为[π3,4π3],故它的值域为[-2,1],可得b-a=1-(-2)=3.答案B3.函数y=2sin(π3-2x)的单调递增区间是()A.[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)B.[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)C.[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z)D.[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)解析y=2sin(π3-2x)=-2sin(2x-π3),函数y=sin(2x-π3)的单调递减区间为y=2sin(π3-2x)的单调递增区间,即2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2(k∈Z)⇒kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z).答案B4.已知函数f(x)=sin(x+π6),其中x∈[-π3,α],若f(x)的值域是[-12,1],则α的取值范围是()A.(0,π3]B.[π3,π2]C.[π2,2π3]D.[π3,π]解析若-π3≤x≤α,则-π6≤x+π6≤α+π6,∵当x+π6=-π6或x+π6=7π6时,sin(x+π6)=-12,∴要使f(x)的值域是[-12,1],则有π2≤α+π6≤7π6,π3≤α≤π,即α的取值范围是[π3,π].答案D5.(多选题)同时具有性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x=π3对称;③在[-π6,π3]上是增函数.这样的一个函数不可能为()A.y=sin(x2+π6)B.y=cos(2x+π3)C.y=sin(2x-π6)D.y=cos(x2-π6)解析周期是π的只有B,C,y=cos(2x+π3)=cos[(2x-π6)+π2]=-sin(2x-π6),当x∈[-π6,π3]时,2x-π6∈[-π2,π2],因此C是增函数,B是减函数,故选ABD.答案ABD6.函数y=sin2x+2cosx(π3≤x≤4π3)的最大值和最小值分别是()A.74,-14B.74,-2C.2,-14D.2,-2解析因为函数y=sin2x+2cosx(π3≤x≤4π3)=1-cos2x+2cosx=-(cosx-1)2+2,又cosx∈[-1,12].所以当cosx=-1,即x=π时,函数y取得最小值为-4+2=-2;当cosx=12,即x=π3时,函数y取得最大值为-14+2=74.答案B7.函数y=sin|x|+sinx的值域是.解析∵y=sin|x|+sinx={2sinx,x≥0,0,x<0,∴-2≤y≤2.答案[-2,2]8.函数y=2sin(π3-x)-cos(π6+x)(x∈R)的最小值为.解析∵(π3-x)+(π6+x)=π2,∴y=2sin[π2-(π6+x)]-cos(x+π6)=2cos(x+π6)-cos(x+π6)=cos(x+π6).∴ymin=-1.答案-19.已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.(1)求g(a);(2)若g(a)=12,求a及此时f(x)的最大值.解(1)y=f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x),令t=cosx,则y=2t2-2at-2a-1,t∈[-1,1],当a2<-1,即a<-2时,ymin=f(-1)=1;当-1≤a2≤1,即-2≤a≤2时,ymin=f(a2)=-a22-2a-1.当a2>1,即a>2时,ymin=f(1)=-4a+1.故g(a)={1,a<-2,-a22-2a-1,-2≤a≤2,-4a+1,a>2.(2)由g(a)=12,得a=-1,此时f(x)=2cos2x+2cosx+1,当cosx=1时,f(x)max=5,此时x=2kπ,k∈Z.能力提升1.若0<α<β<π4,a=❑√2sin(α+π4),b=❑√2sin(β+π4),则()A.abC.ab<1D.ab>❑√2解析∵0<α<β<π4,∴π4<α+π4<β+π4<π2.而正弦函数y=sinx在x∈[0,π2]上是增函数,∴sin(α+π4)0时,{a+b=3,-a+b=1,得{a=1,b=2.当a<0时,{a+b=1,-a+b=3,得{a=-1,b=2.所以ab=2或-2.答案2或-23.若函数y=cosωx(ω>0)在区间[0,1]上出现了50次最小值,则ω的取值范围是.解析设函数的周期为T,由题意知{(49+12)T≤1,(50+12)T>1,又T=2πω,则{99πω≤1,101πω>1,解得99π≤ω<101π.答案[99π,101π)4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<π2),若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,且直线x=π6是函数y=f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)若x∈[-π6,π3],求y=f(x)的值域.解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,所以函数的周期T=π,所以ω=2ππ=2.(2)因为直线x=π6是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×π6+φ=kπ+π2,k∈Z,φ=kπ+π6,k∈Z.又|φ|<π2,所以φ=π6.所以函数的解析式是y=sin(2x+π6).令2x+π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,解得x∈[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.所以函数的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.(3)因为x∈[-π6,π3],所以2x+π6∈[-π6,5π6].所以sin(2x+π6)∈[-12,1],即函数的值域为[-12,1].
