绝对值不等式1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．2.两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．3.(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．4.含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．5.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|a(－∞，－(－∞，0)∪Ra)∪(a，＋∞)(0，＋∞)(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．6．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．（2019•上海）不等式的解集为__________．【答案】【解析】由得，即故答案为：．2．（2018•上海）不等式的解集为__________．【答案】或【解析】由，解得：或，故不等式的解集是或，故答案为：或．3．（2017•上海）不等式的解集为__________．【答案】【解析】，，，故不等式的解集是，故答案为：．4．（2020•江苏）设，解不等式．【解析】．，或或，或或，，不等式的解集为．5．（2020•新课标Ⅰ）已知函数．（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．【解析】函数，图象如图所示（2）由于的图象是函数的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线向左平移一个单位后表示为，联立，解得横坐标为，不等式的解集为．6．（2020•新课标Ⅱ）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，当时，不等式化为，即，；当时，不等式化为，此时；当时，不等式化为，即，．综上，当时，不等式的解集为或；（2）．又，，得或，解得：或．综上，若，则的取值范围是，，．7．（2019•江苏）设，解不等式．【解析】，，或或，或或，不等式的解集为或．8．（2019•新课标Ⅱ）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，当时，，恒成立，；当时，恒成立，；综上，不等式的解集为；（2）当时，在上恒成立；当时，，，不满足题意，的取值范围为：，9．（2018•新课标Ⅰ）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【解析】（1）当时，，由，或，解...
