第1课数列的概念【考点导读】1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。【基础练习】1.已知数列满足，则=。分析:由a1=0,得由此可知:数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:2．在数列中，若，，则该数列的通项2n-1。3．已知数列，满足，则的通项1,n=1,,n≥2.(答案:)4．设数列的前n项和为，，且，则____2__.5．已知数列的前项和，则其通项．【范例导析】例1．设数列的通项公式是，则（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。解：（1）由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。1（2）这个数列的前5项是；（图象略）（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，所以当时，最小，即最小。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。例2．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数。分析：根据题目的条件利用与的关系：，（要特别注意讨论n=1的情况）先求出数列的通项，再利用裂项法对数列进行求和，从而解决第2问的恒成立问题。解：（I）依题意得，即。当n≥2时，;当n=1时，所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数为10。点评：本题两个小问中涉及的方法都是非常常规的，与的关系的转化和裂项法求和都要求大家掌握。2例3．已知数列｛a｝满足,（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足,证明：是等差数列;分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。解：（I）是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）①②；②－①，得即③∴④③－④，得即是等差数列。点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。备用题．在数列中，若a1，a2是正整数，且,3，4，5，…，则称为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”中，,，数列满足；n=1，2，3，…，判断当时,与能否无限趋近于一个常数，如果存在，求出其常数，否则说明理由；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.解：（Ⅰ）,（答案不惟一）（Ⅱ）因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,3,即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，不能无限趋近于一个常数，所以该常数不存在.而当时,,所以能无限趋近于一个常数6。（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下：假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而当时,;当时,；即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()矛盾.从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值0，,,即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.【反馈演练】1．若数列前8项的值各异，且对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（2）。（1）（2）（3）（4）2．设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2，则是等差数列，但不是等比数列。3．设f（n）=（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于。44．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是7月、8月。5．在数列中，则505。6．数列的前项的和是。7．在数列中，已知则数列的前项的和是。8．在数列中，...
