考前强化练9解答题综合练(B)1.已知函数f(x)=x2+mx(m>0),数列{an}的前n项和为Sn.点(n,Sn)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-,(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<1.2.(2018湖南长郡中学二模,文18)如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直于圆O所在平面,G为△AOC的重心.(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;(2)若PA=AB=2AC=2,点Q在线段PA上,且PQ=2QA,求三棱锥P-QGC的体积.3.2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩,按照成绩[50,60),[60,70),…,[90,100]分成了5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).(1)求频率分布直方图中的x的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)若高三年级共有2000名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数;(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有1人被抽到的概率.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,且椭圆C与圆M:(x-1)2+y2=的公共弦长为.(1)求椭圆C的方程;(2)经过原点作直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AD⊥x轴于点D,点E在椭圆C上,且()·()=0,求证:B,D,E三点共线.5.已知函数f(x)=2mlnx-x,g(x)=(m∈R,e为自然对数的底数),(1)试讨论函数f(x)的极值情况;(2)当m>1且x>0时,总有g(x)+3f'(x)>0.6.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,-2a的大小.参考答案考前强化练9解答题综合练(B)1.(1)解f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值为-=-,又m>0,所以m=,即Sn=n2+n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n;当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=n.(2)证明由(1)知bn=,所以Tn=1-+…+=1-,所以Tn<1.2.(1)证明如图,延长OG交AC于点M. G为△AOC的重心,∴M为AC的中点. O为AB的中点,∴OM∥BC. AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,∴OM⊥AC. PA⊥平面ABC,OM⊂平面ABC,∴PA⊥OM.又PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,∴OM⊥平面PAC,即OG⊥平面PAC.又OG⊂平面OPG,∴平面OPG⊥平面PAC.(2)解由(1)知OM⊥平面PAC,∴GM就是点G到平面PAC的距离.由已知可得,OA=OC=AC=1,∴△AOC为正三角形,∴OM=.又点G为△AOC的重心,∴GM=OM=.故点G到平面PQC的距离为.所以VP-QGC=VG-PQC=S△PQC·GM=S△PAC·GM=×2×1×.3.解(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2,故x=0.02.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74(分).由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4,前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7,故中位数在第3组中.设中位数为t分,则有(t-70)×0.03=0.1,所以t=73,即所求的中位数为73分.(2)由(1)可知,50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,由以上样本的频率,可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6=1200.(3)由(1)可知,后三组中的人数分别为15,10,5,故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100]这组的1名学生为f,则从中任抽取3人的所有可能结果为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)共20种.其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a,b,c),只有1种,故后两组中至少有1人被抽到的概率为P=1-.4.解(1)由题意得2a=2,则a=.由椭圆C与圆M:(x-1)2+y2=的公共弦长为,其长度等于圆M的直径,可得椭圆C经过点1,±,所以=1,解得b=1.所以椭...
