高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题06 数列的通项公式（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第六章数列数列的通项公式【背一背重点知识】1.求数列的通项公式，要注意多观察、多试验，大胆猜想，小心论证.2.已知求的问题，要特别注意的情况.3.求数列的通项公式，常见的有六种类型：（1）已知数列的前项，求其通项公式.常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法等，根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力.（2）已知数列前项和，或前项和与的关系，求通项可利用.（3）已知递推式求通项，这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.（4）型，求问题，其关键是确定待定系数，使.（5）型，求问题，可用方法.（6）型，求问题，可用方法.【讲一讲提高技能】1.必备技能：由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等.对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求和，便可利用累加法；对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求积，便可利用累积或迭代法；对于形如“”型递推关系求通项公式，可用迭代或构造等比数列法.2.典型例题：例1若数列{}的前n项和为,则数列{}的通项公式是=______.分析：此题难度不大，符合求数列通项公式中的第（2）种类型，要注意检验时是否也成立，否则就只能用分段函数来表示.当时，，所以，即；当时，，所以，因此数列是以首项为1，公差为的等比数列，故所求数列的通项公式为.【解析】例2在数列中，若前n项和满足，则该数列的通项公式【答案】【解析】试题分析：时，当时，所以数列为等比数列，公比【练一练提升能力】1.已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）．（1）求数列和数列的通项和；（2）设，证明：．【答案】（1），（2）详见解析【解析】2.已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用，即可求出结果；（2）因为，再利用不等式放缩，可得，再采用裂项相消即可求出结果．等差数列的性质【背一背重点知识】1.若、、、，且，为等差数列，则.2.在等差数列中，仍为等数列，公差为.3.若为等差数列，则仍为等数列，公差为.4.等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值；时为递减数列，且当时前项和有最大值.5.若等数列的前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件.6.设分别是等数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和，则有当数列项数为时，有；当数列项数为时，有，，，.【讲一讲提高技能】1.必备技能：等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题。应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系.2.典型例题：例1在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.分析：此题主要考查的是等差数列的性质及等差数列前项和公式，难度不大．可由题意确定得到，从而得到公差的不等式组，求出的范围.【解析】由题意得：，所以，即例2设等差数列的前项和为，若，，则＝（）A．63B．45C．43D．27【答案】B【解析】试题分析：由题意，得，解得，，则＝＝＝45，故选B．【练一练提升能力】1.已知，，是、的等差中项，正数是、的等比中项，那么、、、从小到大的顺序关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】2.已知，若，则的表达式为________.【答案】【解析】试题分析：，，，，即，当且仅当时取等号当时，当时，，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列当时，等比数列的性质【背一背重点知识】1.通项公式的推广：.2.对于任意正整数，只要满足，则有.3.若（项数相同），是等比数列，则仍是等比数列.4.三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数为比较方便.5.为等比数列的前和，则满足，但不一定成等比数列.【讲一讲提高技能】1必备技能：等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时...