考点规范练44双曲线考点规范练B册第32页基础巩固组1.(2015安徽,文6)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=1答案:A解析:双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,因此A正确.2.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案:D解析:由双曲线C1知:a2=sin2θ,b2=cos2θ⇒c2=1,由双曲线C2知:a2=cos2θ,b2=sin2θ⇒c2=1.3.(2015天津,文5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1答案:D解析:由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-=1.4.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.答案:A解析:由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴-3<0.①又 =1,∴=2+2.代入①得,∴-0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.4D.导学号〚32470815〛答案:D解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即-3·=4,解得=4(-1舍去).因为双曲线的离心率e=,所以e=.故选D.6.过双曲线C:=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,又c2=a2+b2,则c=2a,即a==2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为=1,故选A.7.已知双曲线=1的一个焦点是(0,2),椭圆=1的焦距等于4,则n=.答案:5解析:因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1.所以椭圆方程为+x2=1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).8.(2015江西宜春奉新一中模拟)我们把离心率e=的双曲线=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.给出以下几个说法:(1)双曲线x2-=1是黄金双曲线;(2)若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;(3)若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线;(4)若F1,F2为左、右焦点,A1,A2为左、右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.导学号〚32470816〛答案:(1)(2)(3)(4)解析:(1)双曲线x2-=1中,e=,∴双曲线x2-=1是黄金双曲线,故(1)正确;对于(2), b2=ac,则e=,∴e2-e-1=0,解得e=或e=(舍),∴该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确;对于(3),如图,MN经过右焦点F2,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,∴NF2=OF2,∴=c,∴b2=ac.由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确;对于(4),如图,F1,F2为左、右焦点,A1,A2为左、右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,∴B1+B1=A2,即b2+2c2=(a+c)2,整理,得b2=ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确.9.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率e;(2)求双曲线C的方程.解:(1)设双曲线C:=1过第一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,所以tan30°=.于是e2==1+=1+,所以e=.(2)由于,于是设双曲线方程为=1(k≠0),即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-3×3(x-2)2=3k2.化简得到8x2-36x+36+3k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2×,解得k2=1.故所求双曲线C的方程为-y2=1.10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小...
