第1讲三角函数的图象与性质A级基础通关一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：f(x)＝＝＝＝sinx·cosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.答案：C2．(2019·佛山一中月考)将点P(1，1)绕原点O逆时针方向旋转到点Q的位置，则点Q的横坐标是()A.B.C.D.解析：依题意，点Q在角＋＝π的终边上，且|OQ|＝，所以点Q的横坐标x0＝cosπ＝－sin＝－×＝.答案：A3．要得到函数y＝cos2x＋sinxcosx－的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析：y＝(2cos2x－1)＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝sin＝sin，所以将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象．答案：C4．(2019·华师附中调研)古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年－1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单的声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，则()A．ω＝3，φ＝B．ω＝6，φ＝C．ω＝3，φ＝D．ω＝6，φ＝解析：由图象知，T＝2＝，所以＝，则ω＝3.又Asin＝0，即sin＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，由φ∈(0，π)，得φ＝.答案：C5．已知向量a＝，向量b＝(1，1)，函数f(x)＝a·b，则下列说法正确的是()A．f(x)是奇函数B．f(x)的一条对称轴为直线x＝C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)在上为减函数解析：f(x)＝a·b＝sin4＋cos4＝1－2sin2·cos2＝1－sin2x＝＋cos2x，所以f(x)为偶函数，且最小正周期为π，因此A、C不正确．又f＝＋cos＝，取不到最值，故B错误．当x∈时，有＜2x＜π，y＝f(x)为减函数，D正确．答案：D二、填空题6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终点过点P(－，－1)，则tanα＝________，cosα＋sin＝________．解析：因为角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－，－1)，所以x＝－，y＝－1，所以tanα＝＝，cosα＋sin＝cosα－cosα＝0.答案：07．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．解析：f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2＋.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－48．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．解析：由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1.因为－＜φ＜，所以＜＋φ＜，则＋φ＝，所以φ＝－.答案：－三、解答题9．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx＝－cos2x－sin2x＝－2sin，则f＝－2sin＝2.(2)f(x)的最小正周期为π.令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.10．(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝＋的值域．解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.(2)y＝＋＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos.因此，所求函数的值域是.B级能力提升11．(2019·深圳中学检测)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为x＝，该对称轴处所对应的函数值为－1，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度解析：根据已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜)的图象过点，，可得A＝1，·＝－，解得ω＝2.由五点作图法知，2×＋φ＝π，得φ＝，因此f(x)＝sin.把f(x)＝sin的图象向...
