课后作业(八)复习巩固一、选择题1．下列量词是全称量词的是()A．至少有一个B．存在C．都是D．有些[答案]C2．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]C3．下列命题是存在量词命题的是()A．一次函数的图象都是上升的或下降的B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0C．存在实数大于或者等于3D．菱形的对角线互相垂直[解析]选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．[答案]C4．下列是全称量词命题并且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x，y∈R，x2＋y2>0C．∀x∈Q，x2∈QD．∃x∈Z，使x2>1[解析]首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．[答案]C5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2>0C．任意无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x，使>2[解析]只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．[答案]A二、填空题6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．[解析]命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.[答案]∀x≤0，x3≤07．给出下列四个命题：①y＝⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．[解析]①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]①②④8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．[解析]①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．[答案]0三、解答题9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．(1)存在x，使得x－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形的两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．[解](1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．[解](1)∀x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题．(2)∀a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．(4)∀x∈Q，使x2＋x＋1是有理数；真命题．综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，＝xD．平面内，不相交的两条直线是平行直线[解析]A中的命题是全称量词命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.[答案]D12．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是()A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0C...
