考点38直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2017·全国甲卷文·T12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.3【命题意图】抛物线的性质、直线与抛物线的关系以及点到直线的距离公式,意在考查学生的推理论证能力和运算求解能力.【解析】选C.方法一:由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),即x+y-=0,所以M到直线NF的距离为.方法二:由方法一知M(3,2),则|MN|=4,F(1,0),N(-1,2),|NF|==4,设M到NF的距离为d,则S△MNF=|NF|d=|MN|·yM即4d=4×2,故d=2.、二、填空题2.(2017·全国甲卷理科·T16).已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.【命题意图】本题考查抛物线的几何性质和两点间的距离公式.意在考查学生的数形结合的思想以及运算能力.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得a=±4,所以N(0,±4),那么|FN|==6.答案:6三、简答题3.(2017·全国乙卷理科·T20)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程.(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.【命题意图】主要考查椭圆的标准方程的求法,直线与圆锥曲线的位置关系问题,突出考查考生解决综合问题及运算能力.【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P3,P4,又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点,将P2,P3代入椭圆方程得解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A,B,+=+==-1,得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.①斜率存在时,设l:y=kx+n,A,B,联立整理得x2+8knx+4n2-4=0,x1+x2=,x1·x2=,则+=====-1,又n≠1n=-2k-1,⇒此时Δ=-64k,存在k使得Δ>0成立,所以直线l的方程为y=kx-2k-1,当x=2时,y=-1,所以l过定点.【反思总结】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知斜率情况,则一定要讨论直线斜率不存在和存在的情况,接着通法是联立方程组,求判别式、根与系数的关系,根据题设关系进行化简.4.(2017·天津高考理科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程.(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.【命题意图】本题考查圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线综合问题,考查学生的应用能力和计算能力.【解析】(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D,所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0,或3x-y-3=0.5.(2017·天津高考理科·T20)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率.(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.【命题意图】本题考查圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线综合问题,考查学生的应用能力和计算能力.【解析】(1)设椭圆的离心率为e,由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为00),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE...
