课时跟踪检测（十五）向量的减法数乘向量层级一学业水平达标1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝()A．5eB．－5eC．23eD．－23e解析：选C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为()A．0B．1C.D．2解析：选B|－|＝|＋|＝||＝1.3．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是()A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)解析：选C＝－.根据三角形法则，当，共线且同向时，||＝3；当，共线且反向时，||＝13；当，不共线时，3＜||＜13.故||∈[3,13]．4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c解析：选B如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.5．下列各式能化简为的个数是()①(－)－②－(＋)③－(＋)－(＋)④－－＋A．1B．2C．3D．4解析：选C①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；②中，－(＋)＝－0＝；③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；④中，－－＋＝＋＋＝＋2.6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.答案：4b－3a7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：028.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．解析：＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．答案：(b－a)9．化简：(1)－＋－；(2)＋＋－.解：(1)－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.(2)＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.10．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴＝＋＝a＋b，∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴＝＋＝c＋a＋b，∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.层级二应试能力达标1．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，∴|－|＝|＋|，如图．即▱ABCD的对角线相等，∴▱ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.2．如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p解析：选A∵＝－3，∴＝－2＝2.∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝()A.B．2C.D．2解析：选B如图，设菱形对角线交点为O，∵＋＝＋＝，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，||＝＝，∴||＝2||＝2.4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：选D∵＝－，∴＋＋＝－，即2＋＝0，即＝2，故＝，∴P是AC边的一个三等分点．5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝＝＝－＝b－c.答案：b－c6．对于向量a，b，当且仅当_______________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.答案：a与b同向7.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)；(2)；(3)＋＋.解：(1)＝－＝c－a.(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.(2)作＝，连接CF，则＋＝，而＝－＝a－b，所以a－b＋c＝＋＝，且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.
