专题2.4极值计算先判断单调原则不能撼【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)求函数极值的方法:①确定函数的定义域.②求导函数.③求方程的根.④检查在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果在这个根的左、右两侧符号不变,则在这个根处没有极值.(3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数,求方程的根的情况得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围.【典例指引】例1.已知函数其中⑴当时,求曲线处的切线的斜率;⑵当时,求函数的单调区间与极值.②<,则>,当变化时,的变化情况如下表:+0—0+↗极大值↘极小值↗例2.已知函数的图象在处的切线过点,.(1)若,求函数的极值点;(2)设是函数的两个极值点,若,证明:.(提示)【思路引导】(1)求导,则.又,曲线在处的切线过点利用斜率相等,可得.,又,可得,则,可得函数的极值点.(2)由题是方程的两个根,则,,由,可得,,∴是函数的极大值,是函数的极小值,∴要证,只需,计算整理可得,令,则,设,利用导数讨论函数的性质即可得证.(2) 是方程的两个根,∴,, ,∴,,∴是函数的极大值,是函数的极小值,∴要证,只需,,令,则,设,则,函数在上单调递减,∴,∴例3.已知函数在处有极值10.(1)求实数的值;(2)设,讨论函数在区间上的单调性.【思路引导】(1)根据题意得到关于m的方程组,解方程组求得即可;(2)先判断函数的单调性,然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性.(2)由(1)可知,∴当变化时,的变化情况如下表:1+0-0+增极大减极小增⑤当时,在区间上单调递增.综上所述:当或时,在区间上单调递增;当时,在区间上上单调递增,在上单调递减;当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递减,在上单调递增.点评:解答本题的易错点有两个:(1)在第一问中忽视了对值的检验,因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件,这是很容易出现的错误.(2)第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解;还有,即便是分类了,分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况.【同步训练】1.设,.(1)令,求的单调区间;(2)已知在处取得极大值,求实数的取值范围.【思路引导】(1)求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数,根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间,但要含参问题时则要注意讨论,由,根据a的不同取值讨论即可得出单调区间;(2)已知在处取得极大值,故.,然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围(2)由(1)知,.①当a时,单调递增.所以当时,,单调递减.当时,,单调递增.所以在处取得极小值,不合题意.②当时,,由(1)知在内单调递增,可得当时,,时,,所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,即时,在内单调递增,在内单调递减,2.已知函数,在定义域内有两个不同的极值点(I)求的取值范围;(II)求证:【思路引导】(1)函数,在定义域内有两个不同的极值点,令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围;(2)证明,即证,,,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.试题解析:(I)令由题意可知,当(II)由题意及(I)可知,即证3.已知函数.(Ⅰ)若函数在时有极值0,求常数a,b的值;(Ⅱ)若函数在点处的切线平行于x轴,求实数b的值.【思路引导】(1)根据函数的极值点的概念得到,极值点既在切线上又在曲线上,得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到,从而得到参数值.4.已知函数,.(1)求函数在上的最值;(2)求函数的极值点.【思路引导】(1)对函数进行求导可得,求出极值,比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值;(2)对进行求导可得,利用求根公式求出导函数的零点,得到导数与0的关系,判断单调性得其极值.试题解析:(1)依题意,,令,解得.因为,,,且,故函数在上的最...