专题2.4极值计算先判断单调原则不能撼【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．【典例指引】例1．已知函数其中⑴当时，求曲线处的切线的斜率；⑵当时，求函数的单调区间与极值.②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗例2．已知函数的图象在处的切线过点，.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【思路引导】（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得.，又，可得，则，可得函数的极值点.（2）由题是方程的两个根，则，，由，可得，，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证.（2） 是方程的两个根，∴，， ，∴，，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，∴，∴例3．已知函数在处有极值10.（1）求实数的值；（2）设，讨论函数在区间上的单调性.【思路引导】（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性．（2）由（1）可知，∴当变化时，的变化情况如下表：1+0-0+增极大减极小增⑤当时，在区间上单调递增.综上所述：当或时，在区间上单调递增；当时，在区间上上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.点评：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误．（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况．【同步训练】1．设，.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.【思路引导】（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值讨论即可得出单调区间；（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围（2）由（1）知，.①当a时，单调递增.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.②当时，，由（1）知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，2．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点（I）求的取值范围；（II）求证：【思路引导】(1)函数，在定义域内有两个不同的极值点,令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围；(2)证明,即证,,,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.试题解析:（I）令由题意可知,当（II）由题意及（I）可知，即证3．已知函数．（Ⅰ）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；（Ⅱ）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值．【思路引导】（1）根据函数的极值点的概念得到，极值点既在切线上又在曲线上，得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到，从而得到参数值.4．已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）求函数的极值点.【思路引导】（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：（1）依题意，,令，解得.因为，，，且，故函数在上的最...
