-1-第2讲三角恒等变换与解三角形[A组夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x＋1，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B．f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋π6)＋2，则f(x)的最小正周期为2π2＝π，最大值为2＋2＝4.故选B．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3解析：选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3c22bc＝－14，得bc＝6.故选A．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝12asinC，则sinB为()-2-A．74B．34C．73D．13解析：选A．由bsinB－asinA＝12asinC，且c＝2a，得b＝2a，因为cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34，所以sinB＝1－342＝74.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则cbsinB＝()A．32B．233C．33D．3解析：选B．由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，故A＝π3，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝32·sinC，由正弦定理得，cbsinB＝sinCsin2B＝sinC32sinC＝233.故选B．5．(一题多解)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于()A．1B．2C．3D．2解析：选A．法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝310，cos∠BAC＝－110.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×5×2×－110＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝12AB·ACsin∠BAC＝12×2×5×310＝32，所以BC边上的高h＝2S△ABCBC＝2×323＝1，故选A．-3-法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－110<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于2，故选A．6.如图，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cosA等于()A．223B．24C．64D．63解析：选C．依题意得，BD＝AD＝DEsinA＝22sinA，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，BCsin∠BDC＝BDsinC，4sin2A＝22sinA×23＝423sinA，即42sinAcosA＝423sinA，由此解得cosA＝64.二、填空题7．若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝________．解析：依题意得cosπ3＋2α＝－cosπ－π3＋2α＝－cos2π3－α＝2sin2π3－α－1＝2×142－1＝－78.答案：－78-4-8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin2A＝sinC，则c的取值范围为________．解析：由4sinA＝csinC，得4sinA＝csin2A，所以c＝8cosA，因为16＝b2＋c2－2bccosA，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝16－b264－16b＝(4－b)(4＋b)16(4－b)＝4＋b16，所以c2＝64cos2A＝64×4＋b16＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32
